От пути интегрирования

От пути интегрирования - student2.ru Рис. 27 Пусть в замкнутой области (D) определены функции P(x,y) и Q(x,y), непрерывные в этой области вместе со своими частными производными От пути интегрирования - student2.ru и От пути интегрирования - student2.ru . Отметим в этой области любые две точки А и В и вычислим криволинейный интеграл От пути интегрирования - student2.ru (*)по различным кривым, идущим от А к В и лежащим

в области (D) (рис. 27). Получим различные значения интеграла (*). Если же окажется, что значение интеграла (*) по всем возможным кривым одно и то же, т.е.

От пути интегрирования - student2.ru

От пути интегрирования - student2.ru ,

то говорят, что криволинейный интеграл (*) не зависит в области (D) от пути интегрирования. Значение такого интеграла определяется заданием лишь начальной точки А и конечной точки В.

Выясним условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

От пути интегрирования - student2.ru Рис. 28 Теорема 1.Для того, чтобы криволинейный интеграл От пути интегрирования - student2.ru в некоторой области (D) не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы он был равен нулю по любому замкнутому контуру, находящемуся в этой области.     Доказательство.

а) Необходимость. Пусть AlBkA – произвольный замкнутый контур в (D) (рис. 28). По условию

От пути интегрирования - student2.ru .

Тогда От пути интегрирования - student2.ru .

б) Достаточность. Пусть криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру, например AlBkA, равен нулю. Тогда

От пути интегрирования - student2.ru .

Отсюда От пути интегрирования - student2.ru .

Замечание. Доказанная теорема имеет теоретическое значение, однако на практике мы не в силах вычислить интеграл по всем замкнутым контурам, хотя бы даже проходящим через заранее выбранные точки А и В.

Теорема 2. Для того, чтобы интеграл От пути интегрирования - student2.ru не зависел от пути интегрирования в односвязной области (D), необходимо и достаточно, чтобы всюду в этой области От пути интегрирования - student2.ru .

Доказательство этой теоремы основано на использовании формулы Грина-Остроградского. Докажем, например, достаточность утверждения теоремы. Пусть в области (D) всюду выполняется равенство От пути интегрирования - student2.ru . Возьмем односвязную область (D) с границей От пути интегрирования - student2.ru . По формуле Грина-Остроградского

От пути интегрирования - student2.ru ,

а это означает, что интеграл От пути интегрирования - student2.ru не зависит от пути интегрирования.

Пример 19. Вычислить От пути интегрирования - student2.ru .

Решение.

От пути интегрирования - student2.ru Рис. 29 Здесь От пути интегрирования - student2.ru , От пути интегрирования - student2.ru , а также частные производные От пути интегрирования - student2.ru и От пути интегрирования - student2.ru - непрерывные функции в R2. Так как От пути интегрирования - student2.ru , то

данный интеграл не зависит от пути интегрирования. Для упрощения вычислений выберем путь, изображенный на рис. 29. Тогда, обозначая данный интеграл через I, получим:

От пути интегрирования - student2.ru

От пути интегрирования - student2.ru

Ответ. - 31.

Замечание. При интегрировании по горизонтальному пути учитываем, что y = 1, а dy = 0, а при интегрировании по вертикальному отрезку в подынтегральное выражение подставляем x = 2, dx = 0.

Если точку От пути интегрирования - student2.ru зафиксировать, а точку От пути интегрирования - student2.ru считать произвольной в области (D), то получаем функцию двух переменных

От пути интегрирования - student2.ru .

Если существует функция От пути интегрирования - student2.ru такая, что От пути интегрирования - student2.ru , то выражение От пути интегрирования - student2.ru называется полным дифференциалом.

Теорема 3. Для того, чтобы выражение От пути интегрирования - student2.ru было полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы в области (D) выполнялось равенство От пути интегрирования - student2.ru .

Замечание. 1. Сравнивая теоремы 2 и 3, приходим к выводу: для того, чтобы криволинейный интеграл От пути интегрирования - student2.ru не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выражение От пути интегрирования - student2.ru было полным дифференциалом некоторой функции.

2. Можно показать, что От пути интегрирования - student2.ru , где С – постоянная величина.

Пример 20. Проверить, является ли выражение

От пути интегрирования - student2.ru

полным дифференциалом некоторой функции двух переменных Ф(x, y), и, если это так, найти Ф(x, y).

Решение.

От пути интегрирования - student2.ru Рис. 30 В данном выражении От пути интегрирования - student2.ru , От пути интегрирования - student2.ru . Частные производные От пути интегрирования - student2.ru , От пути интегрирования - student2.ru равны между собой и непрерывны. Следовательно данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции.

Найдем эту функцию (рис. 30)

От пути интегрирования - student2.ru

От пути интегрирования - student2.ru .

Ответ. От пути интегрирования - student2.ru .

Замечание. Так как функция От пути интегрирования - student2.ru определяется с точностью до константы С, то в качестве точки От пути интегрирования - student2.ru можно выбрать любую точку из области непрерывности подынтегральной функции. Здесь для простоты вычислений взята точка От пути интегрирования - student2.ru .

Варианты контрольной работы №6.

  1. Изменить порядок интегрирования.

1) От пути интегрирования - student2.ru ,

2) От пути интегрирования - student2.ru ,

3) От пути интегрирования - student2.ru ,

4) От пути интегрирования - student2.ru ,

5) От пути интегрирования - student2.ru ,

6) От пути интегрирования - student2.ru ,

7) От пути интегрирования - student2.ru ,

8) От пути интегрирования - student2.ru ,

9) От пути интегрирования - student2.ru ,

10) От пути интегрирования - student2.ru .

2. Вычислить:

1) От пути интегрирования - student2.ru ;

2) От пути интегрирования - student2.ru ;

3) От пути интегрирования - student2.ru ;

4) От пути интегрирования - student2.ru ;

5) От пути интегрирования - student2.ru ;

6) От пути интегрирования - student2.ru ;

7) От пути интегрирования - student2.ru ;

8) От пути интегрирования - student2.ru ;

9) От пути интегрирования - student2.ru ;

10) От пути интегрирования - student2.ru .

Наши рекомендации