Векторы и линейные пространства

Векторы

Ранее было дано определение вектору как матрице размером n*1 – вектор-столбец x и как матрица размером 1*n – вектор-строка Векторы и линейные пространства - student2.ru , где n – размерность вектора. Если n = 3, то вектору можно дать геометрическую интерпретацию в трёхмерном пространстве, если Векторы и линейные пространства - student2.ru , то геометрическое представление утрачивает свой смысл, однако терминология, связанная с привычными координатными системами, оказывается весьма полезной. Например, системы координат с единичными векторами

Векторы и линейные пространства - student2.ru , Векторы и линейные пространства - student2.ru , … Векторы и линейные пространства - student2.ru ,

может воображаться в виде n – мерной системы с взаимно ортогональными координатными осями.

Над векторами можно осуществлять ряд характерных для них операций и преобразований. Будем рассматривать далее только действительные векторы.

Скалярное произведение двух векторов x и y записывается и определяется как

Векторы и линейные пространства - student2.ru

Скалярное произведение используется часто для проверки ортогональности векторов: два вектора x и y называются ортогональными, если (y,x) = (x,y)=0.

Например, для векторов Векторы и линейные пространства - student2.ru

Векторы и линейные пространства - student2.ru

Внешнее произведение осуществляется согласно правилу

Векторы и линейные пространства - student2.ru Векторы и линейные пространства - student2.ru ,

где x, y – соответственно векторы с размерностью n*1 и m*1.

Эта операция встречается очень редко, обычно при преобразовании некоторых векторно-матричных соотношений.

Довольно часто требуется оценить длину вектора x. Она получила название нормы Векторы и линейные пространства - student2.ru , которая определяется как квадратный корень от скалярного произведения векторов x и x:

Векторы и линейные пространства - student2.ru

Следствием этого выражения является два соотношения:

Векторы и линейные пространства - student2.ru - неравенство треугольника;

Векторы и линейные пространства - student2.ru – неравенство Шварца.

Вектор называется единичным или нормированным, если его длина равна единице, т.е. (x,x)=1. Операция нормирования осуществляется с делением вектора на его норму:

Векторы и линейные пространства - student2.ru

Пример 3.6. Произвести нормирование вектора Векторы и линейные пространства - student2.ru

Векторы и линейные пространства - student2.ru Векторы и линейные пространства - student2.ru

Проверка: Векторы и линейные пространства - student2.ru

Очень важным свойством векторов является их линейная независимость. Векторы Векторы и линейные пространства - student2.ru называются линейно независимыми, если не выполняется равенство

Векторы и линейные пространства - student2.ru

где Векторы и линейные пространства - student2.ru – числа, среди которых по крайней мере одно число не равно нулю.

Если это равенство справедливо только при всех Векторы и линейные пространства - student2.ru то такая система векторов является линейно независимой.

Для оценки линейной независимости векторов вычисляется определитель матрицы, составленный из векторов Векторы и линейные пространства - student2.ru в следующей форме:

Векторы и линейные пространства - student2.ru (3.9)

Необходимым и достаточным условием линейной независимости векторов Векторы и линейные пространства - student2.ru является равенство ранга матрицы A величине n.

Пример 3.7. Оценить свойство линейной независимости системы векторов

Векторы и линейные пространства - student2.ru Векторы и линейные пространства - student2.ru Векторы и линейные пространства - student2.ru

Построим и вычислим определитель матрицы A (3.9):

Векторы и линейные пространства - student2.ru

Таким образом, заданная система векторов линейно независима, т.к. ранг матрицы Векторы и линейные пространства - student2.ru

Наши рекомендации