Свойства преобразования Лапласа

БУДИН В.И.

Курс лекций по дисциплине

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИКИ И УПРАВЛЕНИЯ»

РАЗДЕЛ 1. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ АНАЛИЗЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

В основе операционного исчисления лежит преобразование Лапласа. Оно позволяет значительно упростить решение дифференциальных уравнений и тем самым облегчить исследование систем автоматического управления(САУ). Операторные методы анализа и синтеза САУ являются основой классической теории автоматического управления (ТАУ).

Преобразование Лапласа

Прямое преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа сводится к функциональному преобразованию непрерывной функцииf(t)cприменением интеграла

( 1.1)

где - комплексная переменная;

F(s) - изображение оригинала функции f(t);

ℒ- символ преобразования Лапласа;

t - независимая переменная (время).

Функция f(t)должна удовлетворять следующим условиям:

1) f(t) должна быть непрерывной дляt>0, при этом допустимы точки разрыва 1-го рода;

2) f(t)=0 приt>0;

3) f(t) должна иметь ограниченный порядок возрастания.

Используя преобразование (1.1), можно получить изображения элементарных функций.

Пример 1.1.Найти изображение единичной ступенчатой функцииf(t)=1(t), где

Пример 1.2. Пусть , где .

Для наиболее используемых элементарных функций f(t)преобразование Лапласа было получено и оформлено в виде таблицы оригиналf(t) – изображениеF(s). Ниже приведена часть этой таблицы (табл. 1.1).

Таблица 1.1

1(t)
t
tn

Получение изображений функций f(t)в настоящее время можно осуществить с помощью пакета MatLab. Для этого в библиотеку функций MatLabвведена функция laplace( ). Eё используют обычно следующим образом:

>>symsft% объявление символьных переменныx

>>f=t; % задание конкретной функции (оригинала)

>>Fs=laplace(f) % получение изображения

Fs=1/s^2 % результат преобразования

Пусть , тогда по этой схеме получим;

>>symsfa b t

>>f=exp(-a*t)*cos(b*t);

>>Fs=laplace(f)

Fs=(a+s)/((a+s)^2+b^2))

Результат преобразования можно переписать в общепринятом виде

.

Полученное выражение совпадает с изображением в табл. 1.1.

Свойства преобразования Лапласа

а) линейность преобразования

(1.2)

Пример 1.3. Используя свойство (1.2) найти изображение функции

.

Пример 1.4. Найти изображение функции .

б) Дифференцирование оригинала

где - начальные условия при t→+0.

В частном случае:

,

,

.

Из (1.3) следует, что по существу операция дифференцирования оригинала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексную переменную s.

Используя первые два свойства преобразования Лапласа, можно получить операторную форму дифференциального уравнения.

Пример 1.5.Имеется дифференциальное уравнение второго порядка

Применив к уравнению свойства (1.2) и (1.3), получим

или после соответствующих преобразованийимеем

.

Пример 1.6. Найти изображение по Лапласу дельта-функции Дирака

Известно, что Отсюда используя свойство (1.3) получим

в) Теорема о смещении

.

Положим h= , тогда

Отсюда

Вывод: преобразование Лапласа смещённой функции равно изображению несмещённой функции умноженной на , где -время смещения.

Пример 1.7. Пусть .

Из таблицы преобразования Лапласа имеем , поэтому в нашем случае

.

Пример 1.8. Для функции необходимо получить изображение по Лапласу.

Известно, что изображение равно . Отсюда

.

г) Умножение оригинала на экспоненциальную функцию

. (1.5)

Пример 1.9.Задана функция . Требуется определить для этой функции изображение Лапласа.

Учитывая, что получим

Пример 1.10. Пусть

Известно, что поэтому на основе свойства (1.5) имеем

д) Теорема о масштабировании

Пусть оригинал, - его изображение, - действительное положительное число.Тогда справедливо равенство

(1.6)

Докажем справедливость (1.6) на примере функции

Выделив в аргументе , получим по табл. 1.1:

.

Положим , тогда

Пример 1.11.Определить изображение по Лапласу для функции .

По табл. 1.1 находим изображение по Лапласу: . Отсюда

е) Теорема о свёртке

. (1.7)

Это выражение обычно используется при решении матричных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью операторного метода.

з) Изображение произведения двух функций времени

(1.8)

где m - число особых точек (полюсов) функции .

Res - операция, которая называется вычетом.

Имеется второе соотношение

, (1.9)

где l - число особых точек функции

При выборе выражений (1.7) и (1.8) следует исходить из возможности использования некратных полюсов.

Пример 1.12.Для функции необходимо получить изображение F(s).

Положим . Известно, что ,тогда в соответствии с (1.8) имеем:

При использовании соотношения (1.9) решение задачи усложняется из-за наличия двух кратных полюсов

В итоге получается тот же результат, но более трудоёмким путём, который связан с необходимостью определения производной.

ж) Теорема о начальном значении

, (1.10)

т.е. чтобы получить начальное значение оригинала , необходимо в изображении подставить .

Пример 1.12. Найти начальное значение оригинала, если известно изображение .

.

и) Теорема о конечном значении

Если известно изображение функции , то её установившееся значение можно получить по соотношению

(1.11)

Пример 1.13. Дано изображение функции . Предельное значение оригинала равно: