Неопределённый интеграл

§ 1 ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция определена на некотором проме -жутке Х.

Определение 1. Функция называется первооб –разной для функции на промежутке Х, если для всех выполняется равенство .

Так как производная постоянной равна 0 ( ), то любая функция вида , где - произвольная постоянная, также является первообразной для функции .

Определение 2. Множество всех первообразных функции на промежутке называется неопределённыминте - гралом и обозначается , где - произ -вольная постоянная., - подынтегральная функция , - подынтегральное выражение.

Операция восстановления функции по её производной называется интегрированием.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1. .

Благодаря этому свойству ( и в силу определения первообраз -ной), операцию интегрирования можно проверять дифференци -рованием.

2. , в частности, .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

.

4. .

Используя то, что интегрирование - это операция обратная к операции дифференцирования, можем записать таблицу основных интегралов.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. ;

2. , , в частности,

, и т.д.

3.

4. в частности, :

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. в частности,

12. в частности,

13.

14. .

15.

16.

17.

§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

Метод сводится к тому, что при помощи тождественных

преобразований подынтегральной функции и при применении свойств неопределённого интеграла (3 и 4), связанных с алге- браическими операциями, вычисление интеграла сводится к применению табличных интегралов.

ПРИМЕРЫ.

1.

2.

3.

4.

2. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ( ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ В

НЕОПРЕДЕЛЁННОМ ИНТЕГРАЛЕ )

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция определена и диффе- ренцируема на некотором промежутке , а функция интегрируема на промежутке (области значений функции ). Тогда выполняется формула:

. (1)

При этом, если вместо переменной подставляется неко -торая функция (т.е. формула применяется «слева направо») то формула (1) называется формулой подстановки, а если, наоборот, вместо некоторой функции от ставится некоторая новая переменная (т.е. формула действует «справа налево» ) то формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле..

ПРИМЕРЫ.

1.

Замечание 1. После замены переменной или подстановки в неопределённом интеграле необходимо обязательно вернуться к исходной переменной.

2.

В этих примерах мы выполнили замену переменной, т.е. функцию заменили новой переменной. Теперь рассмотрим случай подстановки:

3. Рассмотрим следствия из формулы 1.

Следствие 1. Если то

Например:

Следствие 2.

Например:

аналогично, .

и так далее.

3. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ.

Среди свойств неопределённого интеграла нет свойства ин -теграла от произведения двух функций. В некоторых случаях интеграл от произведения двух функций позволяет найти так называемая формула интегрирования по частям, которая по- лучается с использованием формулы производной произведе -ния двух функций. Если и непрерывно дифференци- руемые функции на некотором промежутке , то для этих функций может быть применена формула интегрирования по частям

. (2)

В самом деле,

При использовании этого метода следует запомнить следующие правила:

1. Если под знаком интеграла стоят следующие функции : , которые исчезают после дифференцирования, то эти функции обозначают через , а всё остальное выражение в интеграле - через .

2. Если под знаком интеграла, стоят функции, которые не исчезают после вычисления производной

и т. д.,

то эти функции вместе с обозначают через , а

остальные выражения, которые стоят под знаком инте-

грала, - через .

Рассмотрим несколько примеров.

1.

2.

3.

=

Таким образом, в качестве мы можем выбирать функцию, от которой хорошо вычисляется интеграл, а в качестве - ту функцию или выражение, которые исчезает после дифференцирования.

§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Определение 1. Дробно – рациональной функцией (или просто рациональной дробью) называется выражение вида

, где - многочлены степени , соответ –ственно. Если , дробь называется правильной. Если же , то дробь называется неправильной. Любую непра -вильную дробь, после деления «уголком» можно представить в виде

, где - многочлены, причём .

Например, - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель «уголком»:

Тогда

= .

Любую правильную рациональную дробь можно с помощью метода неопределённых коэффициентов, представить в виде суммы простейших рациональных дробей. Они бывают четы-: рёх типов:

1. 2. 3.

4. ( Здесь - некоторые дейст -вительные числа, а квадратный трёхчлен не имеет действительных корней ).

Для дробей 1 – го и 2 - го типа выполняются формулы: Вычисление интегралов 3 – его типа рассмотрим на приме –рах:

1.

2.

Такой же метод можно применить и в случае, если квад -ратный трёхчлен в знаменателе имеет неотрицательный дискриминант. В самом деле

3.

Рассмотрим теперь несколько примеров, в которых, инте- грал вычисляется разложением подынтегральной функции на простейшие дроби методом неопределённых коэффициентов.

Сначала рассмотрим самый простой случай, когда зна -менатель рациональной дроби представляет собой произве -дение нескольких различных линейных скобок :

4.

после умножения последнего равенства на общий знаменатель, получим:

Данное равенство должно выполняться для всех значений . Поэтому, при получим или ; при получается , или ; при имеем , отсюда . Тогда, возвращаясь к интегралу, получим,

Сложнее получается, если знаменатель рациональной дро -би имеет кратные корни, т.е. содержит множитель вида . В этом случае при разложении дроби на прос -тейшие следует запомнить, что каждой скобке вида Отвечает не одно, а , слагаемых, т.е. в разложении при -сутствуют все степени данной скобки. Рассмотрим пример:

5.

Подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:

Умножим данное равенство на общий знаменатель. Получим:

.

Раскроем все скобки:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Получили систему четырёх уравнений с четырьмя неиз- вестными. Можем решить эту систему методом исключения: или

следовательно

Возвращаемся к интегралу:

Метод нахождения коэффициентов, который мы использова-ли в данном примере, называется «методом неопределённых коэффициентов».

Рассмотрим теперь более общий пример.

6.

.

Разложим подынтегральную функцию на элементарные дроби:

(скобки в знаменателе не имеют действительных корней, поэ- тому в разложении появились дроби 3–го типа). Умножив дан- ное равенство на общий знаменатель, получим:

Раскроем скобки: Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Тогда получим следующий интеграл:

§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

1. Самый простой случай, если подынтегральная функция

содержит произведение синусов и косинусов разных аргу -ментов. В этом случае используют обычные формулы пре -образования произведения тригонометрических функций в сумму:

Например:

2. Интегралы вида

1). Если и нечётное, то . Например,

2). Если и нечётное, то , например:

3). Если и и - чётные, то при вычислении интеграла следует использовать формулы понижения степени:

Например,

4) Если ( чётная и отрицательная ), то приме -няется замена:

.

Рассмотрим пример:

3. Интегралы вида или приводящиеся к такому виду: замена . Рассмотрим соответствующие примеры:

1)

2)

4. Универсальная тригонометрическая подстановка:

применяется, если мы имеем интеграл вида Например,

1.

2.

Замечание. Так как применение универсальной тригоно -метрической подстановки зачастую приводит к громоздким рациональным выражениям, то применять её рекомендуется в тех случаях, когда другие подстановки «не работают».

§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

1. Если подынтегральная функция состоит из одного или нескольких корней разных порядков от одного и того же линейного выражения, то подкоренное выражение заменяем таким образом, чтобы избавиться от всех корней сразу, т.е. заменяем через , где - наименьшее общее кратное всех порядков корней. Например: а)

б)

2. Интеграл вида . Рассмотрим пример:

3. Интеграл вида . Следует выделить полный квадрат в подкоренном выражении и сделать соответ- ствующую замену переменной. Например:

4. Тригонометрические подстановки:

А. . Применяется подстановка:

Например,

В. Интеграл вида При вычислении таких интегралов используется подстановка:

.

Например:

С. Интеграл вида Подстановка:

например: Замечание. Тригонометрические подстановки целесообраз -но применять в том случае, если подынтегральная функция содержит только чётные степени .

Мы рассмотрели основные приёмы интегрирования функций. Следует заметить, что интегрирование какой - либо функции может выполняться разными способами.. Правильный выбор метода интегрирования позволяет ускорить выполнение задачи. Фактически очень многое зависит от сообразительности и навыков, получаемых в результате тренировки.

Но не всегда удаётся найти первообразную в виде эле -ментарной функции. Существует класс функций, для которых интеграл не выражается через элементарные функции (т.е. так называемые «не берущиеся» интегралы), но которые имеют большое значение в приложениях, например - инте -грал Пуассона - применяется в теории вероятностей; - интегральный логарифм - применяется в теории чисел;

- интегральные синус и косинус; , - интегралы Френеля - используются в физике, и т.д.

2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

§ 1 . ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА.

Пусть функция определена и на отрезке . Разделим этот отрезок на частей точками: . На каждом элементарном отрез- ке выберем произвольную точку . Длину элемен -тарного отрезка обозначим . Пусть . Составим сумму

. (1)

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке . Если существует конечный предел этой суммы при , то этот предел называется опреде-лённым интегралом от функции на отрезке и обозначается

. (2)

Если функция непрерывная на отрезке , то предел интегральной суммы существует и не зависит от спо -соба разбиения отрезка и выбора точек . Числа называются соответственно нижним и верхним пределами ин –тегрирования.

Если и на , то определённый инте -грал представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , с боковых сторон прямыми , а снизу - осью . (Геометрический смысл определённого интеграла).

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА:

1. 2.

3. для любых точек выполняется равенство

;

4.

5. ; ( - постоянный множитель):

6. Если для всех выполняется неравенство:

, то

7. Если для всех выполняется неравенство:

, то для интеграла выполняется анало –

гичное неравенство: :

8. Если , т.е. для всех выполняется неравенство ,

то ;

9. (Формула среднего значения) Если функция не- прерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка такая, что

Замечание. Формула среднего значения имеет простой геометрический смысл: величина определённого интеграла при численно равна площади прямоугольника, имеющего высоту и основание - отрезок длины .

§ 2. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО

ИНТЕГРАЛА.

1. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция непрерывна на отрезке и какая – либо её первообразная на , то имеет место формула, которая называется формулой Ньютона – Лейбница:

ПРИМЕРЫ:

1.

2.

2. Замена переменной в определённом интеграле.

Пусть - непрерывная функция на отрезке , а функция непрерывна и дифференцируема на от –резке таком, что . Тогда справедлива формула:

.

Если применяем эту формулу «слева – направо» - то это формула подстановки (т.е. вместо подставляем некоторую функцию, а если в другую сторону(т.е. некоторую функцию заменяем новой переменной, то это формула замены пере- менной в определённом интеграле.

При выполнении замены переменной или подстановки ис -пользуются те же методы, что и при вычислении неопреде -лённого интеграла. Следует только иметь ввиду следующее замечание.

ЗАМЕЧАНИЕ. После замены переменной в определённом интеграле нет необходимости возвращаться к исходной пере- меной. Требуется только изменить пределы интегрирования в соответствии с заменой, т.е определить границы изменения новой переменной.

ПРИМЕРЫ

1.

2.

3.

В этих примерах мы заменяли функцию некоторой пере -менной. Теперь рассмотрим случаи подстановки.

4.

5.

3. Интегрирование «по частям» в определённом интеграле.

Если функции и имеют непрерывные произ – водные на отрезке , то справедлива формула:

.

Правила выбора замены функций через и такие же, как для неопределённого интеграла.

Рассмотрим несколько примеров:

1.

2.

3.

§ 3. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.

1. Площадь криволинейной трапеции. (из геометри- ческого смысла определённого интеграла):

(1)

ПРИМЕР 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: Это две параболы. Вершина первой в точке (1, 4), ветви направлены вниз; вершина второй в точке (2, -1), ветви направлены вверх.

1 2 3

О

-1

Площадь заштрихованной фигуры можно найти по формуле:

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

2

-1 0 4

-1

Найдём точки пересечения линий

Площадь находим по формуле:

ЗАМЕЧАНИЕ Для вычисления площади криволинейной тра -пеции в случае, когда верхняя граница задана параметричес -кими уравнениями причём , то в формуле (1) необходимо сделать замену переменной, положив . Получим:

(2)

Например, найти площадь одной арки циклоиды:

2

О