Однопериодная биномиальная модель

Пусть в текущий момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru цена актива равна Однопериодная биномиальная модель - student2.ru . Предположим, что в момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru возможны только два исхода: цена Однопериодная биномиальная модель - student2.ru актива равна:

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru при Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

или

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru при Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

 
  Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

S(t), c

 
  Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Вычислим текущую цену с опциона колл на этот актив со временем исполнения Однопериодная биномиальная модель - student2.ru и ценой исполнения Однопериодная биномиальная модель - student2.ru .

Опцион будет реализован, если рыночная цена актива Однопериодная биномиальная модель - student2.ru окажется выше, чем цена исполнения.

Следовательно, цена Однопериодная биномиальная модель - student2.ru опциона в момент исполнения:

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Возможные значения цены опциона Однопериодная биномиальная модель - student2.ru обозначаются Однопериодная биномиальная модель - student2.ru и Однопериодная биномиальная модель - student2.ru . Они равны:

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

или

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Сформируем безрисковый портфель в момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru , состоящий из одной акции и Однопериодная биномиальная модель - student2.ru опционов колл.

Число Однопериодная биномиальная модель - student2.ru подбирается так, чтобы цена портфеля в момент Однопериодная биномиальная модель - student2.ru была одинаковой при любом из двух возможных значений Однопериодная биномиальная модель - student2.ru . В этом случае портфель будет безрисковым и в момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru .

Если цена актива Однопериодная биномиальная модель - student2.ru , то цена портфеля в момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru равна

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Если цена актива Однопериодная биномиальная модель - student2.ru , то цена портфеля в момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru равна

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Приравнивая эти цены, получим уравнение для Однопериодная биномиальная модель - student2.ru .

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Значит,

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Легко сообразить, что полученное число Однопериодная биномиальная модель - student2.ru отрицательное. Это означает, что Однопериодная биномиальная модель - student2.ru опционов, входящих в безрисковый портфель, нужно продавать.

Цена Однопериодная биномиальная модель - student2.ru безрискового портфеля в момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru равна

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Согласно формуле (3.1), цена Однопериодная биномиальная модель - student2.ru этого портфеля в момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru вычисляется по формуле (предполагается постоянный процент – коэффициент дисконтирования)

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Естественно считать, что ожидаемая прибыль от актива Однопериодная биномиальная модель - student2.ru пропорциональна цене актива Однопериодная биномиальная модель - student2.ru и времени работы актива Однопериодная биномиальная модель - student2.ru .

Если неопределенность рыночной цены отсутствует, и коэффициент пропорциональности прибыли от цены актива и времени равен Однопериодная биномиальная модель - student2.ru , то цена актива Однопериодная биномиальная модель - student2.ru (при условии, что Однопериодная биномиальная модель - student2.ru достаточно мало, так что коэффициент пропорциональности Однопериодная биномиальная модель - student2.ru не изменяется) удовлетворяет уравнению:

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru (2.1)

или

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

При Однопериодная биномиальная модель - student2.ru уравнение (2.1) становится дифференциальным

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Его решение Однопериодная биномиальная модель - student2.ru определяет цену Однопериодная биномиальная модель - student2.ru актива в момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru .

С другой стороны, цена портфеля равна

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

где Однопериодная биномиальная модель - student2.ru - текущая цена опциона

Из двух равенств

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

и

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

следует:

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

или

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru , (3.8)

где

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Напомним, что

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

и

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Аналогично, цена Однопериодная биномиальная модель - student2.ru опциона пут вычисляется по формуле:

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru , где

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru , Однопериодная биномиальная модель - student2.ru .

Двухпериодная биномиальная модель

 
  Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

S(t), c

 
  Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Вычисление цены опциона на актив с исполнением в конце второго периода по цене Однопериодная биномиальная модель - student2.ru нужно начинать с конца.

Если в конце первого периода цена актива равна Однопериодная биномиальная модель - student2.ru , то цену Однопериодная биномиальная модель - student2.ru опциона можно вычислить в рамках однопериодной модели по формуле (3.8):

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

или для другого варианта цены, а именно Однопериодная биномиальная модель - student2.ru :

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Тогда цена опциона в начальный момент времени Однопериодная биномиальная модель - student2.ru выражается через Однопериодная биномиальная модель - student2.ru и Однопериодная биномиальная модель - student2.ru по формуле (3.8). Подставляя полученные выражения для Однопериодная биномиальная модель - student2.ru и Однопериодная биномиальная модель - student2.ru получим

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru ,

где

Однопериодная биномиальная модель - student2.ru

Наши рекомендации