Лабораторная работа №17. Найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадратной области

Найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадратной области (квадрат АВСD) при , . Шаг сетки , погрешность . Исследовать влияние параметра из интервала с шагом 0,1 на сходимость итерационного процесса. Найти оптимальное значение . Ниже в таблице приведены функции, задающие искомую функцию на сторонах квадрата.

N	AB	BC	CD	FD

Уравнение колебаний.Рассматривается задача определенная на отрезке по пространственной координате, и на по временной. В этой области находится функция , удовлетворяющая уравнению:

, , ,

начальными условиями: , при

и граничными условиями: , при .

Здесь , , , , - заданные функции.

После введения сетки { , , ; , , } и перехода к конечным разностям получаем систему разностных уравнений:

, , .

Решение на -ом шаге по времени выражается явным образом. Погрешность аппроксимации этой схемы . Она устойчива при .

, где

Граничные условия переписываются:

, при .

Для решения уравнения необходимо знать два первых временных слоя, которые выражаются из начальных условий.

, , для нахождения используется аппроксимация производной: , откуда .

Если аппроксимировать производную со вторым по t порядком точности, то получается формула: .

Лабораторная работа №18

Найти приближенное решение уравнения колебаний при заданных начальных и краевых условиях , , , , .

N
		-1
	0,3
		1,5
		2,25
	0,5
	0,5
	0,4
		0,9
	0,5
		1,2

Физическая задача №6

Постановка задачи. Требуется найти характер установления стационарного решения задачи №2, решая уравнение теплопроводности:

r×с×¶Т ¤¶t = l׶²T ¤ ¶t² + Q(T). (1)

В этом уравнении r - плотность металлического проводника (2.71 кг/дм ). Остальные параметры выбрать таким же, как в предыдущей краевой задаче. Граничные условия также соответствуют краевой задаче.

В задании следует использовать классическую явную схему с двумя шагами по времени t = t₀ = h²/(2c) и t = t₀ ¤3 [2].

Требования к защите.

1. Представить зависимость от времени максимума температуры по x до момента получения стационарного решения задачи с погрешностью не более 1% по максимальному значению температуры.

2. Добиться подбором N (h =L/N), чтобы максимум температуры в момент времени t₁ = 0.05L²/c был вычислен с погрешностью не более 1% (для оценки погрешности использовать прием Рунге).

3. Показать, что счет с t = t₀ ¤3 обеспечивает большую точность.

Физическая задача №7

Постановка задачи полностью эквивалентна предыдущему заданию. Но в этом задании необходимо использовать неявную схему [2] и получить аналогичные результаты. Кроме того, требуется показать, что возможность использования более крупного шага по времени в неявной схеме может сократить время счета до получения стационара.

Требования к защите.

Первые два пункта аналогичны предыдущему заданию. В третьем пункте показать результаты (по интегральным характеристикам) при шагах t = t₀, t = 2t₀.

Физическая задача №8

Поперечные колебания струны описываются уравнением

¶²v¤¶t² = c²×¶²v¤¶x², 0 < x < L . (1)

В этом уравнении с – скорость распространения колебаний

c = . (2)

Здесь Т – натяжение струны (в ньютонах), r - плотность, а S – сечение струны. Самая низкая частота колебаний струны равна

F₁ = c/(2L). (3)

Расчеты можно выполнять по явной схеме с порядком аппроксимации О(t² +h²). Фиксированными параметрами считать

L=1 м, =7.8 кг/дм , S=4 мм . (4)

Величина натяжения определяет вариант задания Т=2j н (j- номер студента в группе).

Задание.

1. Вычислить самую низкую частоту F₁.

2. Выполнив расчеты, показать графически характер колебаний на одном периоде при однородных граничных условиях и начальных условиях

v(0,x) = sin(p×x/L), ¶v(0,x)/¶t = 0. (4)

3. Показать графически решение (положение струны при t=2t ) при нулевых начальных условиях, закрепленном левом конце (v(t,0) = 0) и заданном движении правого конца

sin(8p×F₁×t) , 0 < t < t₀ =1/(8 F₁)

v(t,L) =

0, t > t₀

4. По значению максимального значения решения в момент времени показать точность расчетов посредством перебора шага .

Физическая задача №9

Типичными уравнениями эллиптического типа являются уравнения Лапласа и Пуассона. В декартовых координатах уравнение Лапласа это равная нулю сумма вторых частных производных по трем координатам. Уравнение Пуассона отличается от уравнения Лапласа наличием в уравнении заданной функции координат . Впервые оператор Лапласа (сумма вторых частных производных) появился в работах Эйлера. Заслуга Лапласа состояла в том, что он показал, что потенциал поля тяготения вне масс удовлетворяет именно уравнению Лапласа. Математический смысл уравнения Лапласа – усреднение. Зная потенциал, можно вычислить компоненты сил по уравнению . Отметим, что Лаплас пытался выяснить - каким образом передается взаимодействие тел разделенных промежутком. Ответ на этот вопрос не получен до сих пор, но математически задача решена очень изящно. Потенциал в месте нахождения масс определяется уравнением Пуассона с заданием плотности . В определенных единицах это уравнение Пуассона может быть записано в виде

.

Таким образом, уравнение Лапласа и Пуассона могут описывать распределение потенциала гравитационного поля, электрического и магнитного полей. Кроме того, эти уравнения описывают стационарное распределение температуры.

Задание. Итерационным методом ПВР[2] (последовательная верхняя релаксация) решить конечно-разностные уравнения, соответствующие уравнению Пуассона в области единичного квадрата с однородными граничными условиями

Du +f(x,y) = 0, u½_Г =0 . (1)

f(x,y) = (i+1)×(k+1)×x×(1-x)×y×(1-y) . (2)

Целые числа i,k в формуле (2) соответствуют номеру студента в списке (N = ik). Рекомендация – число узлов по каждой координате брать не более 40. Можно считать, что искомая функция – температура, а функция пропорциональна внутренним источникам тепла.

Требования к защите.

1. Дать физическую интерпретацию постановке задачи.

2. Представить изолинии полученного решения (не менее трех изолиний).

3. Показать зависимость числа итераций, необходимых для того, чтобы максимальная невязка была менее 10^-5, от параметра верхней релаксации w. Для выполнения этого пункта представить число итераций для трех значений параметра релаксации (одно из них равно оптимальному значению w_* = 2/(1+sin(p×h)).

4. Для максимального значения решения Um = max½u(x,y)½ получить уточненное значение по правилу Рунге-Ромберга, используя решение на трех сетках.