Вычисление квадратного корня

В качестве одного из многочисленных примеров рассмотрим нахождение точного значения квадратного корня.

Пусть Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Положим Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Тогда Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Применяя формулу (5.23),

Вычисление квадратного корня - student2.ru ,

имеем

Вычисление квадратного корня - student2.ru ,

или

Вычисление квадратного корня - student2.ru , Вычисление квадратного корня - student2.ru , (5.25)

(процесс Герона).

Вычисление квадратного корня - student2.ru

Рис.5.3. К вычислению квадратного корня.

Последовательные приближения Вычисление квадратного корня - student2.ru получаются по методу Ньютона, примененному к параболе Вычисление квадратного корня - student2.ru . Если за у0 принять табличное значение, дающее Вычисление квадратного корня - student2.ru с относительной погрешностью Вычисление квадратного корня - student2.ru , то у1, определенное по формуле (5.25), дает новое значение Вычисление квадратного корня - student2.ru приблизительно с относительной погрешностью Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Действительно, полагая

Вычисление квадратного корня - student2.ru

и пренебрегая степенями d, выше третьей, будем иметь:

Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Отсюда получаем вывод: при применении процесса Герона число верных цифр примерно удваивается на каждом этапе по сравнению с первоначальным количеством.

Пример 1. Для Вычисление квадратного корня - student2.ru приближенно имеем:

Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Уточняя это значение, получаем

Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Еще раз повторяя процесс, будем иметь:

Вычисление квадратного корня - student2.ru , причем восемь или семь десятичных знаков являются верными. Действительно, Вычисление квадратного корня - student2.ru

Приближение функций

При решении задач постоянно встречается необходимость замены одной функции Вычисление квадратного корня - student2.ru некоторой другой функцией Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Условнотакого рода задачи можно разделить на два типа:

1).Вид связи между параметрами Вычисление квадратного корня - student2.ru и Вычисление квадратного корня - student2.ru не известен, но эта связь задана в виде таблицы Вычисление квадратного корня - student2.ru , т.е. дискретному множеству значений аргумента Вычисление квадратного корня - student2.ru поставлено в соответствие множество значений функции Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Но при выполнении расчетов требуются и другие значения Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Эта цель достигается решением задачи о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию Вычисление квадратного корня - student2.ru требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией Вычисление квадратного корня - student2.ru так, чтобы отклонение Вычисление квадратного корня - student2.ru от Вычисление квадратного корня - student2.ru в заданной области было наименьшим. Функция Вычисление квадратного корня - student2.ru при этом называется аппроксимирующей.

Для практики весьма важен случай аппроксимации ф-ций многочленами вида

Вычисление квадратного корня - student2.ru (6.1)

В дальнейшем для аппроксимации будут рассматриваться лишь такие функции.

2). Вид связи Вычисление квадратного корня - student2.ru известен. Например, Вычисление квадратного корня - student2.ru . Очевидно, что при ручном счете могут быть использованы таблицы, где с определенной погрешностью приведены значения Вычисление квадратного корня - student2.ru . Но при машинном счете ввод таблиц требует больших затрат памяти. Поэтому для вычисления значений функций на ЭВМ используются разложения этих функций в степенные ряды. Например, функция Вычисление квадратного корня - student2.ru вычисляется с помощью ряда

Вычисление квадратного корня - student2.ru (6.2).

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек Вычисление квадратного корня - student2.ru , то аппроксимация называется точечной.

При построении приближения на непрерывном множестве точек аппроксимация называется непрерывной.

6.1 Точечная аппроксимация.

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции Вычисление квадратного корня - student2.ru строим многочлен (6.1), принимающий в заданных точках Вычисление квадратного корня - student2.ru те же значения Вычисление квадратного корня - student2.ru , что и функция Вычисление квадратного корня - student2.ru , т. е.

Вычисление квадратного корня - student2.ru (6.3)

При этом предполагается, что среди значений Вычисление квадратного корня - student2.ru нет одинаковых, т.е. xi ≠ xk при Вычисление квадратного корня - student2.ru . Точки Вычисление квадратного корня - student2.ru называются узлами интерполяции, а многочлен Вычисление квадратного корня - student2.ru -интерполяционным многочленом. Максимальная степень интерполяционного многочлена равна Вычисление квадратного корня - student2.ru .

В этом случае мы имеем дело с глобальной интерполяцией, поскольку один многочлен

Вычисление квадратного корня - student2.ru

используется для интерполяции функции Вычисление квадратного корня - student2.ru на всем интервале изменения аргумента Вычисление квадратного корня - student2.ru . Коэффициенты Вычисление квадратного корня - student2.ru находятся из системы уравнений 6.3.

Если интерполяционные многочлены построить отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения Вычисление квадратного корня - student2.ru , то получим кусочную (или локальную) интерполяцию.

Если интерполяционные многочлены используются для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка Вычисление квадратного корня - student2.ru , то такое приближение называют экстраполяцией.

Кроме интерполирования, где требуется выполнение условий Вычисление квадратного корня - student2.ru возможны и другие виды аппроксимации. Например, в случае глобальной интерполяции при большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена (6.1). В этом случае можно пойти другим путем: выбирается многочлен меньшей степени, график которого проходит близко от данных точек (штриховая линия на рис.6.1).

 
  Вычисление квадратного корня - student2.ru

Рис. 6.1. К вопросу об экстраполяции.

6.1.1. Одним из таких видов является среднеквадратичное приближение функций с помощью многочлена. При этом Вычисление квадратного корня - student2.ru ; случай Вычисление квадратного корня - student2.ru соответствует интерполяции.

На практике стараются подобрать многочлен Вычисление квадратного корня - student2.ru как можно меньшей степени (как правило, Вычисление квадратного корня - student2.ru .

Мерой отклонения многочлена Вычисление квадратного корня - student2.ru от заданной функции Вычисление квадратного корня - student2.ru на множестве точек Вычисление квадратного корня - student2.ru при среднеквадратичном приближении является величина Вычисление квадратного корня - student2.ru , равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках:

Вычисление квадратного корня - student2.ru (6.4)

Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты Вычисление квадратного корня - student2.ru так, чтобы величина Вычисление квадратного корня - student2.ru была наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов.

Наши рекомендации