Свойства арифметического квадратного корня

1.

Доказательство:

Пусть , тогда каждое из выражений имеет смысл.

Покажем, что выполняются условия:

1)

2)

Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то произведение неотрицательно.

Используя свойство степени произведения получим:

Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:

.

Равенство является тождеством, т.к. оно верно при всех допустимых значениях и .

Данная теорема верна и в случае, когда число множителей под знаком корня больше двух.

Т.о. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.

2.

Доказательство:

Пусть , тогда каждое из выражений имеет смысл.

Покажем, что выполняются условия:

1)

2)

Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то частное неотрицательно.

Используя свойство степени частного получим:

Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:

.

3.

Доказательство:

Рассмотрим 2 случая:

1. если , тогда по определению арифметического квадратного корня

2. если , то , поэтому .

По определению модуля:

таким образом, .

Cвойства

1.

Доказательство:

- это такое неотрицательное число, степень которого равна .

Число неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справедливость равенства

, которое вытекает из свойств степени с натуральным показателем и определения корня - ой степени:

.

2.

Доказательство:

- это такое неотрицательное число, степень которого равна .

Число неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справедливость равенства

, которое вытекает из свойств степени с натуральным показателем и определения корня - ой степени:

3.

Доказательство:

и

и

4.

(Доказать самостоятельно)

5.

Доказательство:

Заметим, что . Тогда .

Так как , то по определению арифметического квадратного корня

.

6.

Доказательство:

Будем доказывать методом от противного:

Пусть и .

Тогда , но по условию . Получили противоречие с условием. Значит наше предположение о том, что не верно. А верно то, что нужно доказать: .

35. Арифметическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

О.Арифметической прогрессиейназывается последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, постоянным для этой последовательности.

О. Это число называется разностью арифметической прогрессии прогрессии.

Арифметическая прогрессия задаётся своим первым членом и разностью. Из определения следует, что разность между любым членом арифметической прогрессии, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство .

Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле , где - член прогрессии с номером n, - первый член и d – разность прогрессии.

Возьмём произвольное натуральное n. Из определения арифметической прогрессии следует

.

Эта цепочка состоит из n равенств, поэтому для любого конечного n она может быть выписана. Следовательно, любой член арифметической прогрессии можно вычислить, зная его номер, первый член прогрессии и её разность.