Расчет напряженности электрического поля шаровых разрядников методом эквивалентных зарядов

Цель работы. В результате выполнения работы студенты должны научиться производить расчеты характеристик электрического поля методом эквивалентных зарядов. Освоить работу с матрицами в среде MathCad и решение систем линейных уравнений. Ознакомится с устройством шаровых разрядников и методами измерения напряжения.

Суть метода эквивалентных зарядов состоит в замене сложной электродной системы на более простую совокупность элементарных зарядов, для которой можно рассчитать характеристики электрического поля в любой требуемой области пространства. По условиям задачи известными являются геометрические размеры электродов и их потенциалы. На рис.4.1 показаны в плоскости два сферических электрода и вариант расположения элементарных (эквивалентных) точечных зарядов и опорных (реперных) точек.

Расчеты методом эквивалентных зарядов проводятся в несколько этапов.

1.Задание координат пробных зарядов. Сложная электродная система заменяется набором элементарных пробных зарядов, таких как точечные заряды, линейные или кольцевые заряды. Координаты размещения зарядов задаются студентом самостоятельно из соображений симметрии задачи и являются известными, в то время как сами величины зарядов на первом этапе не известны. Координаты элементарных зарядов должны выбираться в такой области поля, в которой расчеты характеристик производиться не будут. Например, внутри или на поверхности электродов.

2.Задание координат реперных точек. Задаются координаты реперных (контрольных) точек, в которых известны величины потенциалов. Эти точки выбираются, как правило, на поверхности электродов.

3.Определение потенциальных коэффициентов.

Определяются расстояния от каждого элементарного заряда до каждой контрольной точки. Находится величина потенциального коэффициента для каждой пары: заряд - реперная точка. Поскольку заряды выбираются элементарными, то для них известны формулы определения величины потенциала, создаваемого зарядом в любой точке пространства, если известно расстояние до требуемой точки. Например, определим величину потенциала, создаваемого в 7-ой контрольной точке 5-ым пробным точечным зарядом с величиной q₅. Назовем эту величину частичным потенциалом, создаваемым в точке 7 зарядом 5 и обозначим её символом j₇₅. По формуле для потенциала, создаваемого точечным зарядом j₇₅ = q₅/(4pe₀e×r₇₅)=p₇₅×q₅, где r₇₅- расстояние между реперной точкой 7 и пробным зарядом 5, а p₇₅- соответствующий потенциальный коэффициент. Обозначим координаты пробных зарядов как (xq ,yq, zq), а реперных (опорных) точек (xp ,yp, zp). Тогда

и p₇₅=1/(4pe₀e×r₇₅) представляют собой некоторые определенные числа.

4. Определение величины пробных зарядов.

Величина потенциала в реперной точке складывается из суммы частичных потенциалов, создаваемых в этой точке всеми пробными зарядами:

p₁₁×q₁+ p₁₂×q₂+ p₁₃×q₃+ ××+ p_1n×q₁ = U₁.

P₂₁×q₁+ p₂₂×q₂+ p₂₃×q₃+ ××+ p_2n×q₂ = U₂.

P₃₁×q₁+ p₃₂×q₂+ p₃₃×q₃+ ××+ p_3n×q₃ = U₃. (4.1)

× × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

p_n1×q₁+ p_n2×q₂+ p_n3×q₃+ ××+ p_nn×q_n = U_n

Получается система n- линейных уравнений с n- неизвестным числом зарядов q_n. Потенциальные коэффициенты p_mn были определены на предыдущем шаге, а потенциалы U_n известны по условию выбора реперных точек.

В матричном виде система (4.1) имеет вид

, а (4.2)

величины пробных зарядов , (4.3)

где - обратная (инверсная) матрица потенциальных коэффициентов.

5. Определение потенциалов в требуемой области поля. Для определения характеристик поля в интересующей области следует записать потенциал в произвольной точке по типу одного из уравнений (4.1)

(4.4)

Тогда напряженность поля в произвольной точке задается уравнением:

(4.5)

Задание 1. Рассчитать максимальную напряженность электрического поля шарового разрядника с одним заземленным шаром.

Исходные данные для расчета: диаметр шаров D, расстояние между шарами S и напряжение между шарами U, число реперных точек n.

Порядок расчета

1.1. Задание координат пробных зарядов. Для задания координат нужно выбрать направление осей и положение начала координат. Поскольку максимальная напряженность будет в точках на поверхности шаров на линии, соединяющей центры шаров (точки А7 и А8 рис.4.1), то эту линию целесообразно выбрать за ось Х. Начало координат можно выбрать или в одной из этих точек или в середине отрезка между шарами.

Продемонстрируем изложенный алгоритм расчета на примере. Пусть начало координат выбрано в точке А8, а распределение зарядов выбрано внутри шаров на одинаковых расстояниях.

Вводим исходные данные D:=6.25×10^-2 S:=2×10^-2 U:=30 n:=14

Задаём диапазон изменения номеров пробных зарядов: i:=0..n-1 и диапазон изменения номеров опорных точек: j:=0..n-1. При задании диапазона следует пользоваться функцией диапазона m..n из окна-функции Mathcad Матрицы, а номера зарядов начинаются с нуля, так что последний заряд будет иметь номер n-1.

Поскольку внутри каждого из шаров будет находиться половина пробных зарядов , то расстояние между зарядами определится как

.

Тогда для первого шара (левого) координаты пробных зарядов можно задать следующей последовательностью:

k:=0..n1-1 xq[k:=dx×(k+1)-S-D.

Символ открывающей квадратной скобки [ применяется для записи индекса и аналогичен использованию функции X_n из окна-функции Mathcad Матрицы.

Для второго шара (правого) координаты пробных зарядов можно задать следующей последовательностью:

xq[k+n1:=dx×(k+1).

Все координаты у пробных зарядов задаются равными нулю: yq[i:=0.

Проверить правильность ввода координат записью хq= и уq= .

При выборе начала координат в середине между шарами

xq[k:=dx×(k+1)-S/2-D и xq[k+n1:=dx×(k+1)+S/2.

После проверки правильности ввода координат зарядов проверочные данные удалить.

В последнем случае половина координат хq будет со знаком минус, а другая, равная по величине со знаком +, что облегчает проверку.

1.2. Задание координат опорных (реперных) точек и потенциалов в них. Эти точки должны лежать на поверхности шара. Пусть они расположены на одинаковых расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.1. Тогда длина дуги окружности между соседними точками может быть вычислена как

Отношение длины дуги dl к радиусу шара r=D/2 является центральным углом в радианах. f[k:=k×p/(n1-1). Тогда координата х соответствующей опорной точки определится как координата центра окружности -r×Cosf, т.е.

xp[k:=-cos(f[k)×D/2-(S+D)/2 и xp[k+n1:=-cos(f[k) D/2-(S+D)/2.

Координаты у задаются в виде: yp[k:=sin(f[k)×D/2 и yp[k+n1:=yp[k.

Пример приведен для начала координат в середине между шарами.

Проверить правильность ввода координат. После проверки правильности ввода проверочные данные удалить.

Потенциалы в точках левого шара равны нулю j[k:=0, а для правого шара равны U, т.е. j[k+n1:=U.

1.3. Вычисление потенциальных коэффициентов

Расстояние между зарядами и опорными точками вычисляется по теореме Пифагора: , а соответствующий потенциальный коэффициент .

Проверить возникновение матрицы потенциальных коэффициентов записью p= . После проверки существования матрицу удалить.

Внимание: при записи расстояний и потенциальных коэффициентов вначале ставится индекс опорного точки (индекс строки), а на втором месте индекс заряда (индекс столбца). Допустимо при вычислении потенциальных коэффициентов вместо множителя 9×10⁹ ставить 1. Тогда заряды получаться больше в 9×10⁹ раз, и для правильного нахождения потенциала и напряженности в произвольной точке (п.1.5) новые потенциальные коэффициенты также следует записывать без этого множителя.

1.4. Определение зарядов производится решением системы n линейных уравнений q:=p^-1×j.

При записи решения уравнений следует для инвертированной матрицы потенциальных коэффициентов p^-1 использовать функции X^-1 из окна-функции Mathcad Матрицы.

Проверить существование решения записью q= . После проверки удалить.

1.5. Формула для нахождения потенциала u в произвольной точке (исключая точки внутри шаров) определяется в (4.4) и имеет вид:

Проверить правильность вычисления потенциала в опорных точках, подставляя вместо x, y соответствующие координаты: u(xp₁,yp₁)= .

При номерах опорных точек от 0 до n1-1 должны получиться нули, а от n1 до n-1 — U.

Составляющая напряженности поля вдоль оси х определяется в (4.5):

по оси у ,

суммарная напряженность

Определить напряженность в различных точках на оси Х (на поверхности шаров, в середине отрезка) и в точках с координатой y ¹ 0.

Задание 2. Рассчитать максимальную напряженность поля шаровых разрядников по приближенной формуле Пика:

(4.6)

Сравнить полученное значение с результатами расчета по методу эквивалентных зарядов.

Задание 3. Построить график зависимости напряженности от координаты х при фиксированном значении у. По оси у графика откладывать E(x,0). Пределы изменения по оси х выставить от –S/2 до S/2.

Контрольные вопросы.

1. Какова последовательность расчета поля методом эквивалентных зарядов?

2. Какие ограничения накладываются на место расположения пробных (эквивалентных) зарядов?

3. Какие ограничения накладываются на координаты опорных (реперных) точек?

4. Какие ограничения накладываются на число зарядов и опорных точек?

5. В чем заключена основная идея метода эквивалентных зарядов?

6. Что такое потенциальный коэффициент?

7. В чем состоит метод суперпозиции?

8. Как вычислить напряженность поля, зная потенциал?

Александр Евгеньевич Усачев