Математические предложения

Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Но чтобы математические знания были достоверными, правильно отражали окружающую нас реальность, эти предложения должны быть истинными.

Но как узнать, истинное или ложное знание заключено в том или ином математическом предложении? На этот и другие вопросы, с ним связанные, отвечает раздел «математические предложения». А сейчас только заметим, что каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формулой (структурой), причем содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое, не понимая второго. В связи с этим изучение математических предложений будет в основном связано с раскрытием логической структуры математических предложений.

ТЕМА. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ (ЛЕКЦИЯ)

Содержание

1. Высказывания и высказывательные формы

2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний

3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

Основная литература [ ];

Дополнительная литература [ ]

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Цель. Рассмотреть общие подходы к изучению математических предложений в начальном курсе математики, уметь раскрыть их логическую структуру. Рассмотреть правила определения значения истинности составного высказывания и нахождение множества истинности составных высказывательных форм.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Высказывания и высказывательные формы

2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний

3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

Основные понятия темы

Ø высказывание;

Ø значение истинности высказывания;

Ø высказывательная форма;

Ø область определения высказывательной формы;

Ø множество истинности высказывательной формы;

Ø элементарные высказывания;

Ø логические связки;

Ø составные высказывания;

Ø конъюнкция высказываний и высказывательных форм;

Ø дизъюнкция высказываний и высказывательных форм.

Правила

Ø определения значения истинности составного высказывания;

Ø нахождения множества истинности составных высказывательных форм: Т _{А Ù В} = Т_А Ç Т _В, Т _{А Ú В} = Т_А È Т _В, Т = Т’_А;

Обозначения

А Ù В – составное высказывание, читают «А и В»;

А Ú В – составное высказывание, читают «А или В»

Практическая часть

Обязательные задания

1. Среди следующих предложений, рассматриваемых в начальном курсе математики, укажите высказывания и определите их значение истинности: а) (12 - 7)×(6+3)=45; б) (15+12) : 3>10; в) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны; г) (12 – х) × 4 =24; д) среди четырехугольников есть такие, у которых все стороны равны; е) число z – двузначное; ж) произведение чисел 4070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18396 и 14174; з) число 6 является корнем уравнения (12 – х) × 4=24.

2. Какие предложения из упражнения 1 являются высказывательными формами? Подставьте в них значение переменной так, чтобы получилось: а) истинное высказывание; б) ложное высказывание.

3. Можно ли считать высказывательными формами следующие записи: а) х² – 2х; б) 7×4+2=30; в) 4х +2у; г) 7×4 +2 < 30?

4. Найдите множество истинности высказывательной формы 2х – 10 < 0, заданной на множестве Х, если: а) х > 2; б) 2< х < 6; в) 2< х £ 6; б) х £ 3; г) 2£ х <6; д) 2 £ х £ 6. Как можно записать, используя общепринятые символы, множество истинности каждого из данных предложений?

5. Изобразите на координатной плоскости множества истинности следующих предложений при условии, что х, у ÎR: а) х = у; б) х = 2; в) у = 2х + 3; г) у = 2х; д) у = 2; е) у = 2х –3.

6. В следующих составных предложениях выделите составляющие их элементарные предложения и логические связки: а) В равнобедренном треугольнике АВС биссектриса ВD является медианой и высотой; б) х³7; в) Если запись числа оканчивается цифрой 0, то число делится на 5; г) Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны; д) Неверно, что число 17 делится на 3; е) Если а×в = 0, то а = 0 или в =0.

7. Какова логическая структура (форма) следующих предложений: а) Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине; б) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6; в) Треугольник АВС не является равносторонним.

8. Приведите примеры математических предложений, имеющих логическую структуру вида: а) А и В; б) А или В; в) если А, то В.

10. Известно, что высказывание А истинно. Можно ли, зная лишь это, определить значение истинности высказывания: а) А Ú В; б) А Ù В?

11. Известно, что высказывание А – ложно. Можно ли, зная лишь это, определить значение истинности высказывания: а) А Ú В; б) А Ù В?

12. Определите значение истинности каждого высказывания: а) число 6 делится на 2 и на 3; б) число 123 делится на 3 и на 9; в) при делении 42 на 5 в остатке получится 2 или 5;Г) 3£7; ж) 3³7.

13. Каждое из следующих предложений замените конъюнкцией либо дизъюнкцией, имеющей тот же смысл: а) число 7 принадлежит хотя бы одному из множеств А и В; б) квадратное уравнение имеет не более двух корней; в) каждое слагаемое суммы х+у+z делится на 3; г) по крайней мере одно из натуральных чисел n, n-1, n+1 четно.

14. Покажите, что, выполняя следующие задания, мы находим множество истинности конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм:

а) Даны числа: 31,53,409,348,20,3094,233,33,271,143,3,333,14,30. Выпишите все числа, в записи которых: 1) три цифры и есть цифра 3; 2) три цифры или есть цифра 3.

б) Из ряда 25, 12, 17, 5, 15, 36 выпишите те числа, которые: 1) делятся на 3 и 9; 2) делятся на 3 или на 9.

15. Выполните следующие задания и дайте обоснование предложенным ответам:

а) Постройте по два треугольника, принадлежащих множеству А, если оно состоит из: 1) прямоугольных и равнобедренных треугольников; 2) прямоугольных или равнобедренных треугольников.

б) Постройте два четырехугольника, у которых: 1) диагонали равны и есть прямой угол; 2) диагонали равны или есть прямой угол.

в) Запишите три числа, которые: 1) делятся на 4 и больше 12; 2) делятся на 4 или 12.

16. Решите следующие системы неравенств и объясните, что представляет собой любая система неравенств и множество ее решений с точки зрения логики:

а) б)

17. Решите уравнение (х-3)×(х+2) ×(х-7)=0, х ÎR. Использовалось ли вами понятие дизъюнкции высказывательных форм?

18. Вместо многоточия вставьте «и» либо «или»: а) х ÎAÇB тогда и только тогда, когда х ÎA …х ÎВ. б) х ÎAÈB тогда и только тогда, когда х ÎA …х ÎВ.

20. Пусть А – множество ромбов, В – множество прямоугольников. Как называется четырехугольник, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником? Как можно выразить множество К таких четырехугольников через множества А и В?

Творческие задания

1. А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, меньших 20. Установите, какие из следующих высказываний истинны:

а) 5ÎA или 5ÎB; д) 44 Î А или 44 ÎВ;

б) 5 Î А и 5 Î В; е) 44 Î А и 44 Î В;

в) 8 Î А или 8 Î В; ж) 51 Î А или 51 ÎВ;

г) 8 ÎА и 8 ÎВ; з) 51 Î А и 51 Î В.

2. Покажите, что выполнение учащимися начальных классов следующих заданий связано с понятием высказывательной формы, области ее определения и множества истинности: а) Из ряда чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выпишите, которые делятся на 3; б) Назови все числа, меньшие 7 (имеются в виду только целые неотрицательные числа).

3. Что можно сказать об истинности высказываний: «если а ÎМ, то а Ï », «если а делится на 3 и в не делится на 3, то а + в не делится на 3». Назовите простые высказывания, входящие в каждое из приведенных.

4. Являются ли высказываниями следующие записи: «3–2», «3<5», «таблицу умножения нужно знать наизусть», «а + 0 = а для любого натурального числа а»?