Этот период в истории развития натурального числа называется стадией счета на пальцах — ручного счета
На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запястью, локтю, плечу и т. д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке. У островитян Торресового пролива на человеческом теле можно было осуществить счет до 33. Если совокупность имела больше 33 элементов, то использовали палочки. Именно в этом случае, когда исчерпывалась возможность использования частей тела, они начинали пользоваться палочками (причем все палочки приблизительно одинаковые). Это дает нам ключ к пониманию начального назначения такой «живой шкалы». Очевидно, она сначала была нужна не для индивидуализации чисел, выделения каждого отдельного числа, а лишь для сравнения, установления взаимно-однозначного соответствия между предметами обеих совокупностей.
Для проведения арифметических операций человек использовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные совокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с помощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.
Выдающийся русский ученый и путешественник Н. Н. Миклухо-Маклай (1846—1888) так описывает папуасов — жителей Новой Гвинеи.
Любимый способ счета папуаса состоял в том, что он загибал один за одним пальцы руки, при этом произнося определенный звук, например «бе, бе, бе...». Досчитав до пяти, он говорил «ибон-бе» (рука), потом загибал пальцы другой руки, снова повторял «бе, бе, бе...», пока не доходил до «ибон-али» (две руки). Тогда он шел дальше, пока не доходил до «самба-али» (две ноги). Если нужно было считать дальше, папуас пользовался пальцами рук и ног кого-нибудь другого.
В гроцессе развития общества все больше и больше совокупностей приходилось пересчитывать, простое установление равночисленности и счета на пальцах уже не могло удовлетворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет значительно больших совокупностей.
Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую систему счета можно назвать групповой, или счетом с помощью чисел-совокупностей. Идея считать группы была подсказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встречаются на практике постоянными группами (парами, тройками, десятками, пятерками).
У туземцев Флориды «на-куа» означает 10 яиц, «на-ба-нара» — 10 корзин с едой, но отдельно «на», которому соответствовало бы число 10, не используется. На одном из диалектов индейцев западной части Канады слово «тха» означает три вещи, «тхе» — три раза, «тха-тоэн» — в трех местах и др. Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, там нет. Наличие в определенных совокупностях именно этой части показывает, что люди уже начинают примечать и отображать в своем языке группы, имеющие общие свойства. На этой стадии развития счета не каждой группе приписывается число, а только те группы являются числами-совокупностями, которые часто встречаются в хозяйственной или другой деятельности племени.
Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел. Эту стадию развития числовых представлений пережило все человечество. Во всех языках, в том числе и славянском, есть такие грамматические формы, как единичная, двойственная и множественная. Слово, которое обозначает количество, имеет различное значение в зависимости от того, идет ли речь об одном, двух или большем количестве предметов. В некоторых языках есть особая форма тройственности. Эти речевые формы — пережитки той отдаленной эпохи развития, когда человечеством были освоены только числа «один», «два» и «три».
В процессе обмена одна из групп предметов становится мерой для других, своеобразным эталоном. С этой группой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, которая использовалась для сравнения других, постепенно привело к тому, что позднее начала осознаваться количественная сторона этой группы. Количественная характеристика группы предметов постепенно приобретает самостоятельное значение. Так возникло понятие числа и его названия, т. е. понятие о конкретных числах. Эти числа использовались прежде всего для практических целей людей — счета скота, шкур и др. Постепенно числа начали использоваться для пересчитывания элементов конкретных множеств. Так, например, возникло слово-число «сорок». В русских народных легендах ему принадлежит особенная роль. Корень слова «сорок», или «сорочок», такой же, что и в слове «сорочка». На шубу шло 40 штук соболей. Известно, что соболиные шкуры играли роль единицы ценности. Сорок, или «сорочок», соболей составляли целую шубу и также были единицей ценности.
Первые числа были своеобразными «островами», определенными ориентирами в счете. Счет осуществлялся пятерками, десятками, дюжинами некоторых предметов, т. е. числа-совокупности были узловыми числами, это название закрепилось в арифметике. Узловые числа — это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные числа названия. Остальные числа называют алго-рифмическими. Они возникли намного позже и совершенно по-другому. Алгорифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соединительные нити между узловыми числами.
Во многих языках в названиях алгорифмических чисел используются специальные слова-классификаторы для характеристики определенного способа действий с конкретным множеством. Так, в речи индейцев Северной Америки, а также племен Британской Колумбии выкладывание первых двух десятков предметов не сопровождается этими словами-классификаторами. Счет последующих единиц словесно оформляется как результат действия. Например, число 26 обозначается так: «на дважды десять я кладу еще шесть». Слова-классификаторы не сопровождают чисел, кратных десяти. Таким образом, эти термины существуют лишь для того, чтобы размещать по разрядам единицы, которые вдут за десятками, но не сами десятки.
Операции с числами сначала были не арифметическими, а двигательными. Следы этого сохранились во многих языках, в том числе и русском. Так, числа от одиннадцати до девятнадцати произносятся как соответствующее число единиц, положенных на десять: один надцать, пять на дцать и т. д. В этом случае частицу «на» следует понимать именно как «положенное на». Позднее возникли арифметические операции.
Постепенно определился последовательный ряд натуральных чисел. Основную роль в создании алгорифмическихчисел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умножение. Особенно это прослеживается в римской нумерации: VI = 5 + 1;ХС= 100 — 10 и т. д. Образование алгоритмических чисел на основе использования арифметических операций нашло отражение в названиях некоторых чисел в украинском, белорусском, французском и других языках.
Однако числовой ряд на этой стадии еще не был однородным и бесконечным. Долгое время он был ограниченным (конечным). Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12, и 40, и др. Наибольшее освоенное число натурального ряда, которое граничило с бесконечностью, часто приобретало особый ореол необыкновенного и, очевидно, было основой для возникновения запретов, связанных с этими числами. (Некоторые из этих поверий сохранились до настоящего времени.) Такими числами были: 7,13, 40 и др.
Число 40 в легендах многих восточных народов играет особую роль. Выражение «сорок сороков», часто используемое в русском языке, является обозначением очень большого, бесконечно большого числа.
Что касается счета сороками, то есть и еще одно предположение о том, что это исходит от счета по суставам пальцев. Сибирские звероловы считали большим пальцем по двум суставам остальных четырех пальцев, таким образом досчитывая до сорока. Использование третьего сустава в этом процессе считалось неудобным.
Постепенно узловые и алгорифмические числа заполняли ряд, который является бесконечным. Натуральных чисел бесконечно много, среди них нет наибольшего. Какое бы большое число мы не взяли, если прибавим к нему единицу, то получим еще большее число. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом осмыслении арифметики.
Приложение 1
1. Заполнить таблицу основных математических понятий
| № п/п | Понятие | Определение |
| 1. | Множество | |
| 2. | Операции с множеством | |
| 3. | Счет | |
| 4. | Число | |
| 5. | Величина | |
| 6. | Измерение | |
| 7. | Время | |
| 8. | Пространство | |
| 9. | Цифра |