История развития понятия числа и деятельности счета. Способы записи чисел, история их развития.

Счет – математическое понятие, это операция, имеющая целью установить, сколько элементов содержит данное конечное множество.

1,5-2 года. Дети сопровождают свои операции с множеством такими словами как «вот», «еще» или числительными в любом порядке. Каждое повторение ребенок соотносит с одним предметом и одним движением, тем самым он устанавливает взаимнооднозначное соответствие между количеством предметов и количеством слов, движений.

2-4 года. Появляется интерес к сравнению множеств путем установления взаимнооднозначного соответствия. Последовательное называние числительных еще не означает овладение процессом счета, т.к. ребенок не понимает итога счета, т.е. не умеет отвечать на вопрос «сколько?» Счет еще не служит средством определения количества. Чаще всего названное числительное служит сигналом к остановке называния числительных.

4-5 лет. Дети начинают употреблять числительные в определенном порядке и отличать итог счета от процесса счета. Начинают понимать, что равночисленные множества всегда именуются одним числом.

5-6 лет. Усваивают последовательность называния числительных, понимают, что количество не зависит от направления счета, что число является показателем количества, осознают отношения между числами, т.е. осваивают обратный счет.

6-7 лет. Овладевают счетом группами, т.е. понимают, что единицей счета может быть не только отдельный предмет, а целая группа.

7-8 лет. Овладевают счетом десятками и новой деятельностью – вычислением. Счет связан с конкретным множеством, с определением количества в определенном множестве, а вычисление – абстрактная операция, здесь участвую только числа (без называния предмета).

Развитие понятия числа

3-4 года. Дети используют слова-числительные, но не понимают, что такое число. На этом этапе дети способны лишь сравнивать различные множества путем установления взаимнооднозначного соответствия.

4-5 лет. Дети могут сравнивать числа на основе сравнения множеств, но не воспринимают число абстрактно, без множества.

5-6 лет. Способны сравнивать любые числа на основе свойства транзитивности. При измерении понимают число как результат измерения, т.е. как отношение всей величины (целого) к условной мерке (части). Понимают, что число служит лишь показателем количества. Происходит абстрагирование числа от конкретных м ножеств.

Развитие представлений о натуральном ряде чисел

Натуральный ряд – последовательность целых положительных чисел, расположенных в порядке их возрастания.

2-4 года. На основе речи взрослых дети начинают рано употреблять слова-числительные: сначала хаотично, затем упорядочено. Осознание порядка следования чисел происходит сразу в 2-х направлениях:

- увеличиваются последовательности чисел, которые дети запоминают,

- начинают осознавать, что каждое числительное всегда занимает свое определенное место, но на этом этапе не понимают, почему это происходит.

У детей образуются рече-слухо-двигательные связи между называемыми числительными. Ребенок называет ряд натуральных чисел подобно бессмысленной считалке и не может продолжить ряд чисел с середины, т.к. дети не понимают отношений между числами.

4-5 лет. Дети не всегда могут ответить на вопрос, какое число идет до этого, а какое после. Не могут назвать предыдущие числа. Для них ряд движется как бы вперед (понимают только последние числа). Такое представление о натуральном ряде называется «пространственным образом натурального ряда чисел». Чтобы найти число на единицу больше дети мысленно или вслух начинают называть слова-числительные от начала ряда. Таким образом, разностные отношения между предыдущими и последующими числами еще не усвоены.

5-6 лет. Эмпирические представления о натуральном ряде как пространственном образе перестраиваются в понятие о натуральном ряде чисел. Дети начинают осознавать основной принцип построения натурального ряда (п` = п + 1).

Системы счисления.

Систе́ма счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Такая система счисления основывается на том, что некоторое число n единиц (основание системы счисления) объединяется в одну единицу второго разряда, n единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д. Основанием системы счисления может быть любое число, большее единицы.

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам ивавилонянам

; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.

К числу таких систем относится современная десятичная система счисления (с основанием n = 10), возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших ее у мусульман. В вычислительной технике применялись и широко применяются системы счисления не только с основанием 2, 4, 8, 16, 32, 64, 256. Например, использовалась и троичная система счисления, цифры которой кодировались отсутствием электрического сигнала и положительным или отрицательным его уровнем. При записи больших чисел заслуживают внимания основания систем счисления 100, 1000, 10000, 1000000.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

К позиционным системам счисления относятся: десятичная (используется 10 знаков для записи чисел – 0, 1, 2, …, 8, 9), двоичная (используется 2 знака – 0, 1) и т.п.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

А) Чтобы перевести число из любой позиционной системы счисления в десятичную, надо представить это число в стандартном виде (например,

в десятичной системе счисления, 2134 = 2∙103+1∙102+3∙101+4∙100,

в двоичной системе счисления, 11012 = 1∙23 + 1∙22 + 0∙21 +1∙20,

затем выполнить все действия: 11012 = 1∙23 + 1∙22 + 0∙21 +1∙20 =

= 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Полученный результат и будет искомой записью числа в десятичной системе счисления, т.е. 11012 = 13.

Б) Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в любую позиционную, надо делить это число на основание системы до тех пор, пока делимое не станет меньше делителя. Затем надо записать все остатки снизу вверх (или справа налево).

Полученный результат и будет искомой записью числа, т.е. 13 = 11012.

Арифметические действия с многозначными числами в любой позиционной системе счисления выполняются также как и в десятичной, т.е. числа записываются в столбик разряд под разрядом. А для выполнения действий с однозначными числами составляются таблицы. Например, в двоичной системе счисления:

Наши рекомендации