Лекция 13. Числовая последовательность

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательностьx_1, х₂, …, х_n = {x_n}

Общий элементпоследовательности является функцией от n.x_n = f(n). Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция. Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1. Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2. Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n} = {x_n ± y_n}.

3. Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4. Частное последовательностей: при {y_n} ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство: т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n £ M.

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

x_n ³ M

Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Теорема. Если x_n ® a, то .

Теорема. Если x_n ® a, то последовательность {x_n} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2)Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3)Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Число е.

Рассмотрим последовательность . Эта последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, значит она имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е. .

Число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что . Найдем Число е является основанием натурального логарифма.

Связь натурального и десятичного логарифмов.

Пусть х = 10^у, тогда lnx = ln10^y , следовательно

lnx = yln10 у = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.