Принципы формирования критериев качества машин

Математическое моделирование развивается в направлении создания системы автоматизированного проектирования. САПР – это организационно – техническая система, состоящая из комплекса средств автоматизации конструкторских работ на основе применения ЭВМ для поиска оптимального решения.

Важным моментом при разработке проекта машины является формулировка цели оптимизации. Эта цель математически выражается в виде целевой функции в виде требования обеспечения минимума (реже максимума) выбранного критерия, в качестве которого могут быть приняты различные технико-экономические показатели. Основными критериями являются: стоимость разработки, изготовления и эксплуатации; качество функционирования; надежность; вид и расход энергии; масса, объем и т. п. Каждый из этих частных критериев является функцией нескольких параметров механизмов, величина которых неизвестна заранее и определяется в процессе проектирования (так называемых переменных проектировании, например, длин звеньев, масс, передаточных отношений и т.п.). Поэтому задача оптимального проектирования в большинстве случаев имеет неоднозначное решение. Не обосновывая выбор критериев, укажем некоторые из них на примере переходного процесса разгона машинного агрегата (рисунок 4.1):

1. Критерий быстродействия – время прихода системы в заданное состояние

– время разгона машины.

Рис 4.1.

2. Интегральная оценка точности, т. е. среднее интегральное отклонение от заданного состояния в переходном процессе

где Y(t) - отклонение оцениваемой переменной от заданного значенияY_зад. Например, критерий точности имеет изображенный на рисунке 4.1 геометрический смысл: Ф₂ – площадь под кривой переходного процесса, характеризующая величину текущего отклонения Y(t)от заданного конечного состояния Y_зад.

3. Критерий экономичности, характеризующий абсолютный расход энергии, в наиболее общем виде представляет израсходованную за определённое время энергию G

где W = W(t) – текущая мощность двигателя.

Снижение расхода энергии является одним из наиболее важных вопросов, решаемых при проектировании машин различного назначения. Во время энергетического кризиса 70-х годов стоимость нефтяного топлива увеличилась в несколько раз. Выделенные в ЕС на научные исследования средства позволили сократить потребление топлива автомобилями, являющимися основными потребителями жидкого топлива. Появились гибридные автомобили с ДВС с рекуператорами энергии.

Любой интегральный критерий качества Ф_i может быть представлен как определённый интеграл, представляющий число, оценивающее выбранное качество машины

где Y – координата состояния системы; U_i – оптимизируемый конструктивный параметр машины; t₀, t_i – начальное и конечное время.

Однако без математического описания связей частных критериев Ф_i с конструктивными параметрами U_i машин использование критериев для проектирования практически лишено смысла. Вопросу формирования математических моделей – функциональных зависимостей динамических и экономических критериев от конструктивных параметров машины будут посвящены отдельные главы.

Переменные Y, характеризующие состояние объекта – перемещения и скорости звеньев, всегда ограничены по величине. Например, естественным ограничением является максимальная скорость электродвигателя, связанная с частотой питания тока и т.п. Часто целесообразные по конструктивным соображениям ограничениядлин звеньев, вводят сознательно. Поиск оптимального решения состоит в выборе таких значений оптимизируемых U_i параметров, при которых критерий качества принимает в зависимости от его смысла минимальное (или максимальное) значение при выполнении ограничений. Выделяют несколько этапов поиска оптимального решения:

1. Выбор набора критериев Ф_i , характеризующих качества машины;

2. Определение совокупности варьируемых в процессе оптимизации независимых конструктивных параметров U_i (параметров оптимизации), определяющих основные характеристики машины;

3. Выделение ограничений на характеристики и конструктивные параметры;

4. Разработка математической модели машины в виде целевой функции, т. е. описание математических соотношений между конструктивными параметрами U_i машины и выбранными критериями Ф_i в виде уравнений. Обязательным является описание ограничений при использовании моделей машины в виде неравенств или допустимых областей расчёта;

5. Выбор метода расчета оптимальных параметров, оказывающих определяющее влияние на время и точность поиска оптимального решения.

Простейшие задачи оптимального проектирования можно решать аналитическими методами классического вариационного исчисления. В этом случае задача оптимизации сводится к задаче отыскания экстремума частных функционалов Ф_i . Подобно тому, как условием существования экстремального значения непрерывной функции является равенство нулю ее первой производной. В вариационном исчислении доказано, что необходимым условием экстремума интегрального критерия качества Ф_i является равенство нулю его первой вариации – линейной части приращения функционала при приращении аргументов, в качестве которых выступают подлежащие определению параметры механизма. При большом числе конструктивных параметров задачи нахождения оптимума, как правило, не имеют аналитического решения, и приходиться прибегать к нахождению оптимальных значений путем перебора (случайного или упорядоченного) различных комбинаций искомых параметров с использованием ЭВМ.

В идеальном случае при решении многокритериальной задачи каждый частный критерий Ф_i имеет свое экстремальное значение (минимум). На практике частные критерии противоречивы (например, критерий быстродействия и экономичности) и оптимальные параметры, полученные по различным критериям, имеют разные значения.

В общем случае каждый частный критерий выделяет свое множество оптимальных решений, поэтому необходимо учитывать сведения об относительной важности частных критериев. Это означает, что критерии будут строго упорядочены (ранжированы) по значимости так, что следует добиваться приращения более важного критерия за счет уступок по остальным Ф_i. Иногда идут на организацию комплексного Ф_о аддитивного критерия оптимальности, зависящего от частных критериев качества Ф_i

где C_i– весовой коэффициент частного критерия, который может иметь различную размерность и принимать различные значения в зависимости от важности его.

Сразу следует отметить, что показатели качества различных могут сравниваться друг с другом только тогда, когда назначение машин совершенно одинаково. Осуществить сравнение можно только с помощью комплексного критерия, который учитывает не каждый показатель качества в отдельности, а полный эффект от совокупности всех показателей. Необходимость комплексного подхода к оценке экономической эффективности вызвана еще и тем, что обычно отдельные показатели качества зависят друг от друга. Изменяя в нужную сторону один из них, мы невольно ухудшаем другой. Комплексный критерий должен учитывать и затраты на изготовление машины: если рубль экономического эффекта у потребителя требует в первом из вариантов больших предварительных затрат, чем в другом, то относительная экономическая эффективность у второго выше.

Таким образом, с помощью комплексного критерия реализуется системный подход к проблемам качества. Чтобы облегчить поиск оптимального решения удобно произвести сведение задачи к безусловной оптимизации без рассмотрения ограничений. Для этого при формировании обобщённого критерия оптимальности целесообразно пойти на включение в него барьерных или штрафных функций, принимающих неограниченное значение при приближении к зоне ограничений. Универсальным методом является метод, в котором в критерий Ф_о включается штрафная функция h_i (U_i), резко увеличивающая значения критерия у границ допустимой области ДО изменения оптимизируемых параметров U_i

где q_i > 0 – коэффициент штрафа, h_i (U_i) – барьерная или штрафная функция, которая может неограниченно возрастать при приближении к границе допустимой области (ДО) вариации переменных проектирования U_i. . Например, известно, что для двигателей нецелесообразна работа в области вблизи холостого хода, где бесконечно возрастает удельный расход энергии g. Поэтому целевую функцию Ф_о(U_i) желательно выбирать такого вида, чтобы её величина неограниченно возрастала на "холостом" ходу. Такой характер изменения функции удельного расхода энергии g(W) от развиваемой мощности свойственен ДВС и асинхронным электродвигателям (у последних при недогрузке увеличивается так называемый «косинус фи» и потери энергии). В качестве безразмерного критерия экономичности расхода энергии часто выбирают удельный расход энергии или КПД машины. Часто используют коэффициент использования номинальной мощности двигателя W_ном , оценивающий среднюю развиваемую мощность за определённое время работы (t₁ - t₀)

где t₀, t₁ – начальное и конечное время работы, W(t), W_ном – текущая и номинальная мощности двигателя.

Обеспечение высокой экономичности и производительности новой техники осуществляется в процессе ее проектирования, когда определяются будущие характеристики машин. Задачи синтеза чрезвычайно сложны и часто они решаются путем рассмотрения различных вариантов машин. При динамических расчетах нередко приходиться идти на определенные упрощения, постепенно усложняя задачу путем учета всех новых факторов и уточнения решения. Таким образом, важнейшей задачей курса «Основы проектирования машин” является создание оптимизационных методов расчета на основе анализа математических моделей, характеризующих экономичность машины и её динамические качества. Первое, что должен сделать инженер – это представить себе модель машины, т. е. перейти от реальной конструкции к её расчетным уравнениям.