Производная сложной функции
Пусть 
, т.е. 
. Тогда
.
Примеры.
Найдём 
, пользуясь формулой для производной сложной функции.
1) 
.
¨ Здесь 
.
2) 
.
¨ Здесь 
.
Определение. Логарифмическая производная функции 
— это производная от 
, т.е. это функция
.
Определение. Степенно-показательная функция - это функция вида y(x)=(f(x))g(x).
Правило нахождения 
для
Степенно-показательной функции
1)Логарифмируем 
: 
;
2)Дифференцируем обе части этого равенства:
;
3)Находим из этого соотношения 
:
.
Примеры нахождения .
1) 
.
¨ 
;
2) 
.
¨ 
;
3) 
.
¨ а) 
; б) 
;
в) 
;
4) 
.
¨ а) 
;
б) 
;
в) 
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти :
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
; 15) 
; 16) 
;
17) 
; 18) 
; 19) 
.
Занятие №8.
Уравнение касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми. Дифференциал функции. Приближённое вычисление значения функции в точке.
Уравнение касательной к кривой 
в точке 
имеет следующий вид:
. (1)
Если 
, то 
; если 
, то 
.
Определение. Нормаль к кривой в точке 
— это прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной.
Уравнение нормали к кривой в точке имеет следующий вид:
. (2)
Если , то ; если , то .
 | |||
 | |||
 |
 | |||||
 | |||||
 | |||||
касательная случай случай
нормаль 
Рис. 1
Определение. Угол 
между кривыми 
, 
в их общей точке — это острый угол между касательными к ним в этой точке. Для вычисления используют формулу:
. (3)
Определения. Предположим, что приращение функции 
в точке может быть представлено в следующем виде:
,
где 
— приращение аргумента в точке , функция 
такова, что 
, а 
- некоторая константа. Первое слагаемое в этом выражении называют дифференциалом функции в точке и обозначают через 
, т.е.
.
Приращение обычно обозначают через 
и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом,
.
Можно показать, что 
и, следовательно,
.
Приближённое вычисление значения функции 
в заданной точке.
Для приближенных вычислений используется следующая формула:
. (4)
Примеры.
1)Написать уравнения касательной и нормали к кривой 
в точке 
.
¨ Найдём 
. Поэтому, согласно формулам (1) и (2):
- уравнение касательной (или 
);
- уравнение нормали (или 
).
2)Найти угол между кривыми 
и 
, а также угол 
между касательной к кривой в точке 
и осью 
.
¨ Найдём точку пересечения этих кривых. Для этого решим уравнение 
. Оно имеет единственное решение 
. Найдём 
, 
. Далее воспользуемся формулой (3):
.
Поэтому 
. Как известно (см. геометрический смысл производной), 
. Поэтому 
.
3)Вычислить приближённо: а) 
; б) 
.
¨ Во всех случаях подбираем 
так, чтобы число 
было искомым, а число 
легко бы определялось. Далее пользуемся формулой (4).
а) Возьмём 
, 
. Тогда 
, 
, 
;
б) Возьмём 
, 
. Тогда 
, 
, 
.