Симплексный метод решения задачи линейного программирования

Для решения ЗЛП существует универсальный метод – метод последовательного улучшения плана или симплекс-метод, который состоит из двух вычислительных процедур: симплекс-метода с естественным базисом и симплекс-метода с искусственным базисом (М-метод).

Выбор конкретной вычислительной процедуры осуществляется после приведения исходной ЗЛП к каноническому виду (КЗЛП):

В теории линейного программирования (ЛП) показано, что оптимальное решение ЗЛП связано с угловыми (крайними) точками многогранника решений, которым отвечают опорные планы (неотрицательные базисные решения системы уравнений КЗЛП). Каждый из опорных планов определяется системой m линейно независимых векторов, содержащихся в данной системе из n векторов А1, А2,…, Аn. Верхняя граница количества опорных планов, содержащихся в данной задаче, определяется числом сочетаний С_nm.

Задача. Получить решение по модели задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (решить ЗЛП):

Приведем задачу к каноническому виду путем введения дополнительных переменных x ₃ и x₄:

Найдем все опорные планы КЗЛП. Используя метод Жордана-Гаусса выписываем все базисные решения системы уравнений:

Последовательно будем иметь:

Х₁ = (0,0,300,150); Х₂= (150,0,150,0); Х₃= (0,150,-150,0); Х₄= (75,75,0,0); Х₅= (300,0,0,-150); Х₆= (0,100,0,50).

Среди этих базисных решений четыре опорных:

Х₁ = (0,0,300,150); Х₂= (150,0,150,0); Х₄= (75,75,0,0); Х₆= (0,100,0,50).

Указанным опорным планам на рис.5 отвечают соответственно следующие угловые точки и значения ЦФ в них:

А(0,0) и f(0,0)=0; Д(150,0) и f(150,0)=300; С(75,75) и f(75,75)=375; В(0,100) и f(0,100)=300.

Согласно теории ЛП оптимальное решение содержится среди опорных планов.

Таким образом, максимальное значение, равное 375, целевая функция f (x1,x2) достигает на опорном плане Х4= (75,75,0,0), т.е. оптимальное решение рассматриваемой ЗЛП: x1 = 75, x2 = 75.

Понятно, что при больших m и n найти оптимальный план, перебирая указанным выше способом (прямым перебором) все опорные ЗЛП весьма трудно. Поэтому необходимо иметь схему, позволяющую осуществлять упорядоченный переход от одного опорного плана к другому. Такой схемой является симплексный метод.

Симплекс-метод с естественным базисом

Для применения симплекс-метода с естественным базисом КЗЛП должна содержать единичную подматрицу размером mxm – в этом случае очевиден начальный опорный план (неотрицательное базисное решение системы ограничений КЗЛП).

Для определенности предположим, что первые m векторов матрицы системы уравнений составляют единичную матрицу. Тогда первоначальный опорный план очевиден – (b1, b2 ,…, bm ,0,…,0).

Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью признака оптимальности, переход к другому опорному плану проводится с помощью преобразований Жордана-Гаусса при использовании математического признака оптимальности. Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и так далее. Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи (конечного оптимума нет), либо получается оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение ЦФ.

Математический признак оптимальности состоит из следующих двух теорем:

1. Если для всех векторов А₁, А₂,…, А_n выполняется условие

где ,

то полученный опорный план является оптимальным.

2. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие , то можно получить новый опорный план, для которого значение ЦФ будет больше исходного, при этом могут быть два случая:

- если все компоненты вектора, подлежащего вводу в базис, неположительны, то ЗЛП не имеет решения (конечного оптимума нет);

- если имеется хотя бы одна положительная компонента у вектора, подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.

На основании признака оптимальности в базис вводится вектор А_к , давший минимальную отрицательную величину симплекс разности:

Чтобы выполнялось условие неотрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор А_r, который дает минимальное положительное оценочное отношение

Строка А_r называется направляющей, столбец А_к и элемент a_{r к} – направляющими.

Элементы направляющей строки в новой симплекс-таблице вычисляются по формулам:

а элементы i-й строки – по формулам:

Значения нового опорного плана рассчитываются по формулам:

для i = r ;

Процесс решения продолжают либо до получения оптимального плана, либо до установления неограниченности ЦФ. Если среди симплекс-разностей (оценок) оптимального плана нулевые только оценки, соответствующие базисным векторам, то это говорит о единственности оптимального плана. Если же нулевая оценка соответствует вектору, не входящему, то в общем случае это означает, что оптимальный план не единственный.

Примечание. Для использования приведенной процедуры к минимизации линейной функции f (x₁,x₂,…, x_n) следует искать максимум - f (x₁,x₂,…, x_n), затем полученный максимум взять с противоположным знаком. Оптимальное решение то же.

Пример. Получить решение по модели:

Эта задача (модель) линейного программирования, приведем ее к каноническому виду путем введения дополнительных переменных x 3 и x4:

КЗЛП имеет необходимое число единичных столбцов, т.е. обладает очевидным начальным опорным планом (0,0,300,150). Решение осуществляется симплекс-методом с естественным базисом с оформлением расчетов в симплекс-таблицах:

Номер			В
симплекс-	Базис		план					Q
таблицы
	А3
	А4
		f(x)		-2	-3
	А2			1/3		1/3
I	А4			2/3		-1/3
		f(x)		-1
	А2					1/2	-1/2
II	А1					-1/2	3/2
		f(x)				1/2	3/2

В симплекс-таблице II получен оптимальный опорный план, поскольку все симплекс-разности (оценки) j. Оптимальные значения переменных равны: x1*=75, x2* =75 (основные переменные), x3* =0, x4* =0 (дополнительные переменные). Максимальное значение целевой функции равно 375.

Таким образом, в рассмотренной выше задаче об оптимальном использовании ограниченных ресурсов, оптимальная производственная программа состоит в выпуске 75ед. изделий первого вида и 75ед. изделий второго вида. С этой программой связана максимальная выручка от реализации готовой продукции – 375 у.е.