Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения

Найти общее (частное) решение уравнения

9.1. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru .

9.2. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru .

9.3. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru; Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru .

9.4. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru .

9.5. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru .

Ответы:

9.1. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru ;

9.2. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru ;

9.3. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru ;

9.4. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru ;

9.5. Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru .

Контрольные вопросы.

1.Какое дифференциальное уравнение называется уравнением 2-го, n-го порядка? Приведите примеры.

2.Как определяются общее и частное решения уравнения 2-го, n-го порядка? Запишите общий вид этих решений.

3.Способы решения уравнений, допускающих понижение порядка, перечислите их. Приведите примеры.

Cправочная таблица 2

Алгоритм решения уравнения Тип уравнения Признак типа Метод понижения порядка
1. Определить тип уравнения. 2. Понизить порядок уравнения. 3. Решить полученное уравнение 1-го порядка (см.табл.1.) относительно функции z или p. 4. Возвратиться к первоначальной переменной, заменив z(x) или p(y) на Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru . 5.Решить вновь полученное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.   Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru Нет явно Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru Последовательное интегрирование два раза
Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru Нет явно y Ввести подстановку:   y=z(x), Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru
Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru Нет явно x Ввести подстановку: Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru

10. Линейные дифференциальные уравнения Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru -ого порядка.

Определение 10.1: Линейнымдифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru (10.1)

Здесь функции Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru ) и Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru заданы и непрерывны в некотором промежутке Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru .

Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru , то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.

Рассмотрим линейные однородные уравнения.: общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям.

Теорема: (Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения)

Если Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru — линейно независимые частные решения уравнения

Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru

то Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru есть общее решение этого уравнения ( Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru —произвольные постоянные).

Примечание. Функции Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru называются линейно независимыми в промежутке Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru если они не связаны никаким тождеством

Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru

где Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно.

Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две функции Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной : Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru const. Например:

1) Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru —линейно независимы;

2) Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru —линейно независимы;

3) Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru — линейно зависимы.

Совокупность Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru решений линейного однородного уравнения Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru -го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru , называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru

фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru его общее решение находится по формуле

Задачи для самостоятельного решения. Найти общее (частное) решение уравнения - student2.ru

Наши рекомендации