Количественного и качественного исследований

Мы уже останавливались на возможностях математики при различных исследованиях и ее роли в создании моделей, адекватных природным, социальным объектам, на громадном ее арсенале методов, разработанных и ждущих своего применения.

Одни из ее разделов могут быть применены при наличии количественных отношений в системе, описывавших явления и процессы, характеризующие объект с жесткими причинно-следственными связями (обыкновенные дифференциальные уравнения, линейное и нелинейное программирование); другие - в случаях вероятностного протекания событий (теория случайных процессов, основы математической статистики, комбинаторный анализ); третьи используются в системах, где отношения выражены неколичественными характеристиками, а относительными качественными (теория множеств, графов, математическая логика).

Разделение курсов математики по использованию условно, так как разделы третьей группы методически используются и в первых двух группах задач математического моделирования. К третьей группе разделов математики относятся теория массового обслуживания, марковские процессы, теория исследований операций.

4.1Логика и особенности рассуждений прикладной математики при математическом моделировании.

Рассматривая в предыдущих разделах вопросы необходимости исследования существования, однозначности и устойчивости решения, мы судили о них с позиции математиков, являющихся представителями чистой или строгой науки. Для таких математиков доказать существование решения - значит установить непротиворечивость принятым в рассуждениях аксиомам.

Для прикладника (специалиста, использующего математический аппарат в конкретной задаче-модели) интересен не сам факт существования решения, а возможность его реализации без больших затрат времени на ЭВМ.

Отсюда вытекает различие применяемой логики в чистой и прикладной математике. Но и прикладная математика, как и другие дисциплины, не может обходиться только дедуктивными рассуждениями (опирающимися на принятые аксиомы и формальную логику). Она строится на сочетании дедуктивных (строгих) рассуждений и рассуждений, не совсем приемлемых с точки зрения чистой математики, но способных при разумном их применении приводить к правильным результатам. Такие рассуждения носят название рациональных (в англоязычной литературе - правдоподобных).

Все свойства объекта исследования в чистой математике логически следуют из формального определения (формулировки задачи). Прикладник при появлении в его рассуждениях какой-то неопределенности всегда не только может возвратиться, но и возвращается к исходному объекту для получения дополнительных сведений о нем, пусть неточных, приблизительно описывающих какую-то сторону, иногда даже на интуитивном уровне (на уровне здравого смысла).

Строгость того или иного рассуждения (средство избегать ошибочных выводов) может быть оценена количественно степенью достоверности отсутствия ошибки.

Чистая математика, доказывающая какой-то вывод, теорему путем применения ряда логических переходов (рассуждений), признает их безошибочность только в том случае, если каждое из используемых рассуждений является безупречно истинным. Хотя надо заметить, и она не без греха.

Прикладная математика может получить и практически получает полезные и достаточно точные результаты при грубых с точки зрения чистой математики допущениях и переходах, степень достоверности (истинности) которых значительно меньше единицы. Впрочем, степень достоверности какого-либо суждения, в истинности которого возникают сомнения, может быть оценена с помощью экспертных оценок.

Очень часто при математическом моделировании используется линеаризация. Практически все реальные процессы являются нелинейными. Широкое распространение предположений о линейности объясняется более простой формой получаемой математической модели, с которой начинается исследование мало изученных объектов, достаточной для практики точностью получаемых решений, разработанностью приближенного метода исследования линейных моделей. Ошибки, вызываемые заменой нелинейных зависимостей линейными, могут быть количественными или качественными. В первом случае результаты расчета по модели правильно описывают свойства реального явления, но числовые характеристики отличаются от истинных. Иногда такое описание оказывается достаточным (например, заключение об устойчивости движения на базе линейного приближения). В том случае, когда нужны более точные решения в количественном отношении, исследование линейной системы дает предварительные данные о характере процесса (по частоте, наличию каких-либо особых точек).

Во многих случаях линейные системы неадекватны действительным процессам, поэтому необходимо такие явления рассматривать существенно нелинейными. Особенно это относится к объектам, в которых возникают пороговые эффекты: до какого-то момента система реагирует на воздействия простым усилением текущего процесса, а с некоторого количественного значения скорость (или какая-либо характеристика) возрастает скачкообразно (вспомним в качестве примера критическую массу урана, когда процесс распада ядер превращается в цепную реакцию, приводящую к взрыву). Большинство непрерывных существенно нелинейных систем может быть представлено линейными системами с меняющимися параметрами, результат действия которых оценивается решением линейных систем с постоянными параметрами в каких-то ограниченных пределах времени, пространства, режима работы. В этом случае одновременное проведение дискретизации и линеаризации в пределах каждого промежутка, а также использование результатов каждого предыдущего промежутка (шага) в качестве входных данных последующих позволяет получить конечный или любой необходимый результат оценки состояния объекта. Вопрос о возникновении качественных или количественных ошибок в результате той или иной линеаризации решается на рациональном уровне (на основе навыков, аналогий, физических иличисленных экспериментов, а также детальной проработки эталонных задач).

Интерполяция и экстраполяция в процессе исследования моделей на ЭВМ являются очень мощным средством упрощения алгоритмов расчета, но таят в себе те же подводные камни, которые возникают при информативной неопределенности эволюционного моделирования и обработке данных натурного или вычислительного эксперимента .

При отыскании решения математической модели приходится использовать и другие способы, позволяющие количественно или качественно оценить его, в том числе и дополнительные упрощения, если они не нарушают качественной картины процесса и находятся в достаточно обоснованной допустимой области оценки количественного результата. Способы этого упрощения в каждом конкретном случае выбираются исходя из целей, поставленных при составлении математической моде­ли, в зависимости от оценки возникавших при этом погрешностей (например, путем введения малого параметра, связанного с проблемой нулевого приближения).

Проблемой при математическом моделировании является и вопрос о детерминированности или случайности процессов в реальных объектах. Обычно, когда говорят о случайных процессах, то имеют в виду стохастические, т.е. те, которые подчиняются законам математической статистики. За последние годы модели таких процессов получили широкое распространение. Однако слабым звеном многих таких моделей является неоправданный выбор статистических гипотез, среди которых преобладает гипотеза о нормальном законе распределения, или уверенность составителя в доступном определении характеристик входных случайных величин. На самом деле часто такая информация отсутствует, а во многих случаях рассматриваемый процесс не явля­ется стохастическим, а выступает как неопределенный, практически не допускающий применения законов математической статистики. Поэ­тому при рассмотрении случайной величины первичным является вопрос о ее исходном распределении, а не о сохранении его вида при преобразованиях входных величин в выходные.

В конечном счете, в выборе подхода к изучаемому объекту (детерминированного или стохастического) при построении математической модели вопрос о возможности и трудоемкости получения исходных данных является решающим.

Наиболее распространенными рассуждениями в прикладной математике являются:

1) Применение утверждений, справедливых в реальных случаях, хотя и допускающих построение искусственных противоречащих примеров (единственная цель которых состоит в показе дедуктивной неполноценности соответствующих утверждений);

2) Уточнение в ходе исследования с возвращением к исходному объекту или изменением рабочей гипотезы по его существу (по структуре искомой зависимости - периодичности, стационарности и т.д.);

3) Использование выводов, основанных на аналогиях или эксперименте (особенно, если физическая модель позволяет получить нужную оценку быстрее и дешевле);

4) Доказательства, основанные на частных случаях, однако являющихся типичными в данном классе объектов, явлений (методы индукции, отличающиеся от методов полной индукции чистой математики);

5) Использование результатов приближенного вычисления при отсутствии строго полученной явной оценки такого вычисления и применении апостериорной оценки, опирающейся на результаты уже приведенных приблизительных вычислений;

6) Применение вычислительных методов, сходимость которых не доказана (сходимость проверяют на простейших модельных задачах, но иногда и этого сделать невозможно, а поэтому исследователь полагается на удачу, везение или на последующую экспериментальную проверку);

7) Изучение и применение решения задачи в случаях, когда теоремы существования решения не доказаны (часто этот вопрос прикладниками вообще не поднимается, а заменяется исследованием правильности постановки задачи, ее корректности);

8) Применение практической бесконечности (трактовка бесконечно малых и бесконечно больших величин как постоянных, но имеющих более высокий порядок по сравнению с рассматриваемыми);

9) Нелокальное применение локального исследования (особенно это касается различного рода рядов, сходящихся при некоторых значениях определяющих параметров);

10)Применение понятий вне рамок их первоначального определения (например, интеграл, первоначально определенный для непрерывных функций, может применяться и для разрывных).

Можно указать много других видов рациональных рассуждений. Все они являются алогизмами только с позиции чистой математики, с позиций прикладной эти рассуждения могут считаться логичными и, как правило, оказываются полезными.

Логику рациональных рассуждений, приводящую к практически достоверному результату, мы должны отнести к более высокой ступени, чем чистая дедукция, так как она синтезирует формальную логику с интуицией и здравым смыслом (поэтому она и является основой системного анализа). Ошибки возможны при ее использовании, но плодотворность дедукции в таком сочетании становится значительно выше.

С рассматриваемыми особенностями логики прикладной математики связан и специфический характер понятия устойчивости. В технических дисциплинах введено много понятий устойчивости (чувствительность, надежность, стабильность), определяющих общее свойство характеристик изучаемых объектов - не слишком сильно изменяться при изменении некоторых параметров, влиявших на эти характеристики.

Наиболее общим определением устойчивости можно считать определение Моисеева Е.Д., которое получило название технической устойчивости: при отклонении параметров v , определяющих выходные данные системы (модели), по каким-либо причинам от номинальных в некоторой области G_v выходные переменные rобязательно попадают в область G_r, т.е модель устойчива, если Ф(G_v)≤ G_r.

Области G_v и G_r.- характеристики близости возмущенных значений v и выходных данных rк номиналам. Выбор понятия близости в данном случае находится в руках исследователя и определяется его задачами.

Исследование модели на устойчивость требует ответа в форме утверждения или отрицания. Однако получить его совсем не просто без полного решения. Для этого созданы различные методы качественного анализа, о которых уже говорилось при рассмотрении устойчивости по Ляпунову А.М.

Интерес для исследователя могут представлять в целом и неустойчивые движения, если в заданный промежуток времени они не выходят из заданной области.

Основой исследования моделей на ЭВМ являются методы приближенных вычислений, которые сжато изложены в учебном пособии А.Н.Тихонова и Д.П.Костомарова и многих других учебниках . Большой круг математических методов, используемых в курсах по автоматике, можно найти в учебниках по этому курсу, например, в книге "Теория автоматического регулирования" (М.: Высшая школа, 1977. Ч. 1 и 2).

Учитывая набор специальностей, по которым в основном готовят выпускников сельскохозяйственных ВУЗов, ограничимся рассмотрением методов решения систем линейных алгебраических уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.