Транспортных издержек

Предположим что имеется m-производителей и n-покупателей.

A_i = (i = 1,m ) B_j = (j = 1.n )

Известны производственные затраты d_i (i = 1,n )

Спланировать перевозки так чтобы суммарные (производственные и транспортные) затраты были минимальными.

Нужно решить обычную транспортную задачу, затраты которой Cij = Cij + d

Блокирование перевозки или запрещение

Перевозок.

Очень часто на практике при решение Т.З либо какой-то производитель или потребитель закладывает “запрет“на продукцию.

Если это производитель – то он может запретить перевозку своего товара любому потребителю своей продукции.

Если это потребитель – то он может запретить перевозку товара к себе любому производителю с которым нехочет иметь дело.

В этом случае клетка с номером i , j должна быть заблокирована. И осуществляется это следующим образом. В клетку с номером i , j место Cij записываем число m (очень большое положительное число).

Задачи о назначении.

Пусть имеются m исполнителей которые должны быть назначены на выполнение n работ.

Известна матрица C. С – затраты при назначении i – исполнителя на выполнение j – вида работ C = Cij

Произвести назначение таким образом, чтобы каждый исполнитель выполнял только 1 работу, и каждая работа выполнялась только 1 исполнителем. При этом затраты должны быть минимальными.

Возможные постановки:

Ai – Экономисты. (i = 1,m) Bj – Работа. (j = 1,n) Cij – Затраты.

Ai – Строительные механизмы. Bj –Площади. Cij – производительность.

Математическая модель.

Предположим m=n. Введем целочисленное обозначение пусть Xij 1- i-ый на j—ю , 0 в противном случае. Получим матрицу из элементов 0 и 1. Так как исполнитель может быть назначен на одну работу и одна работа может быть выполнена только одним исполнителем в каждой строке и столбце только одна 1. Система ограничение все = 1 (по строкам и столбцам) Х –(0 ;1) Z=двойная сумма СijXij ->min =>Задача о назначениях является частной Т.З. , где ai и bj=1 причем r=m+n-1=2n-1>n –решение всегда выраждена.

Теоремы на которых основаны решения задачи о Назначениях.

Т. Кенинга Если элементы матрицы С, разделить на два класса , на основании свойства R , то минимальное число линий содержащих все элементы со свойством R = максимальному числу таких элементов со свойством R, не какие два из которых не лежат на одной прямой.

Теорема: Решения задачи о назначениях не изменится если к матрице прибавить или отнять из каждого столбца иил каждой строки одно и тоже число.

С=¦Сij¦

C¹=¦Cij-Ui+Vj¦ - док-ть что Х не изменится.

Z¹(X)= (Cij-Ui+Vj)Xij= CijXij- UiXij+ VjXij=Z(x)- Ui Xij + Vj Xij = > Z¹(x)=Z(x)- Ui+ Vj – очевидно что решение не изменилось Xij=1

Изменилось только значение функции

3) Если можно найти такую матрицу назначений функции Х, для которой значение функции Z будет равно=0 то Х является оптимальным решением данной задачи. Если Xij>=0; Сij>=0, то произведение их Сij*Xij>=0 сумма их тоже >=0. Очевидно что самое минимальное число 0, Х – будет являться решением задачи. => назначение производится по 0.

Алгоритм решения.

1. Все действия выполняются с матрицей С

2. Из каждой строки матрицы вычитается минимальный элемент этой строки

3. Так же и столбец

4. Минимальным числом линий вычеркиваем все 0, если число линий = n то произодим назначение.

5. Если число линий меньше n , то выбираем минимальный элемент из не вычеркнутых и вычитаем его из не вычеркнутых, а перечеркнутым дважды прибавляем.

Задача коммивояжера.

Постановка задачи:

Известно что комиваяжер выезжает из города и должен посетить A₁ , A₂ , A₃ ,…, A_K городов и вернутся в город A₁. Известно расстояние Cij между городами A_i – B_j причем известно Cij ¹ Cji.

Cij = Cjj = ¥. Спланировать маршрут таким образом, чтобы расстояние L для этого маршрута (I₁ , I₂ , I₃ ,…, I_k ) было кротчайшим.

Математическая модель этой задачи:

х11+х12+…+х1k =1

x21+x22+…+x2k =1

xk1+xk2+…+xkk = 1

x11+ +x21 +xk1 = 1

x12+ x22+ xk2 = 1

x1k+ x2k+ +xkk = 1

Z = CijXij ® min

Маршрут – это цикл.

Метод ветвей и границ.

1. Допустимые множества в задачи коммивояжера

F(x) ® min (1,2,3,…,K,1)

XÎД (1,3,2,…,K,1)

Для задачи допустимым планом является маршрут от 1 города, 2, 3. О.Д.Р. – есть множество маршрутов (перестановки).

2. Нижняя оценка (граница).

Д

Нижней оценкой к x где Д^* множество – называется такое число x^* = d(Д^*) удовлетворяет условию x^* £ f(x) где XÎД^*.

Ветвлениею

Ветвление на множестве Д такое разбиение множества Д на k ³ 2 подмножеств. Дi (i =1,k) для которых справедливы следующие 2 условия.

1. Пересечение 2 подмножеств Дi₁ Ç Дi₂ = Æ есть пустое множество, а

2. Обьединение всех подмножеств È Дi = Д

В результате ветвей получим дерево решений.

Вершина от которой нет ответвлений называется висячей вершиной. Если выходит две стрелки , то дерево называется диадическое дерево

Перспективное ветвление.

Пусть на каком то шаге дерево возможных вариантов , каждый из которых имеет нижнюю оценку , на очередном шаге выбирается для ветвления вершина с наименьшей минимальной оценкой. и та вершина становится перспективной.

Признак оптимальности.

F(x)=min оценки Д (последней) Пусть есть матрица Х* принадлеж Дк , такой что f(x*)= сигма (Дк) => Х* оптимальное решение.