Средние величины и показатели вариации
- Сущность и значение средних величин..
- Виды средних величин и методы их расчета.
- Свойства средних величин.
- Структурные средние величины
- Показатели вариации.
I. Сущность и значение средних величин.
Средняя величина – это обобщающий показатель, с помощью которого можно охарактеризовать совокупность по количественно-варьирующему признаку.
Средние величины отражают то общее, что незаметно в отдельных единицах и проявляется только в массе случаев. Средние величины могут отличатся от индивидуальных значений признака на произвольную величину, но сумма всех отклонений от средней величины всегда будет равна нулю. Средняя величина будет отражать осмысленную экономическую величину только, если будет анализироваться количественно однородная совокупность.
Задачи, решаемые с помощью средних величин:
- сравниваются размеры одинакового явления в разных совокупностях (средняя заработная плата в Калининградской области сравнивается со средней заработной платой в Московской области);
- анализируется развитие явления во времени (средняя заработная плата в 2000 г. сравнивается со средней заработной платой в 2001 г.);
- производятся расчеты возможных уровней явления в будущем;
- изучается наличие взаимосвязей между явлениями.
II. Виды средних величин и методы их расчета.
Существуют две формы средних величин: простая и взвешанная.
Простая форма используется для расчета средних величин в несгруппированных совокупностях, взвешанная форма - в сгруппированных совокупностях.
Пример:
Возраст 8 человек – 20, 19, 17, 20, 18, 20, 19, 18 лет соответственно – это несгруппированная совокупность.
Если ее сгруппировать, то получим следующую сгруппированную совокупность:
| Значение признака (возраст) x | Частота (вес) признака (количество человек данного возраста) f |
| 17 | 1 |
| 18 | 2 |
| 19 | 2 |
| 20 | 3 |
| ИТОГО: | 8 |
Виды и формы средних величин.
| Вид средних величин | Простая форма | Взвешанная форма |
| 1) Средняя арифметическая |  |  |
| 2) Средняя гармоническая |  |  |
| 3) Средняя квадратическая |  |  |
| 4) Средняя геометрическая |  |  |
| 5) Средняя хронологическая |  |
– среднее значение признака;
– индивидуальное значение осредняемого признака;
– количество единиц совокупности;
– частота (вес) индивидуальных значений признака;
– общий объем совокупности (если данные сгруппировать, то n = ).
Выбор вида средней величины зависит от вида осредняемого признака и от наличия исходных данных.
Пример: имеются данные о стаже 7 членов бригады рабочих
| N рабочего | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Стаж по годам | 10 | 8 | 5 | 10 | 9 | 8 | 6 |
Решение:
Сгруппируем данные:
| Стаж (индивидуальное значение признака) x | Количество человек (частота) f |
| 5 | 1 |
| 6 | 1 |
| 8 | 2 |
| 9 | 1 |
| 10 | 2 |
Решение:
Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда отсутствуют данные о частоте признака, а имеются данные о произведении частоты признака на значение признака.
Пример: имеются данные о цене товара по трем городам области.
| Город | Цена единицы товара, руб. | Объем реализации товара, тыс. руб. |
| 1 | 30 | 600 |
| 2 | 20 | 1000 |
| 3 | 35 | 350 |
| итого | --- | 1950 |
Расчитать среднюю цену единицы товара по трем городам вместе взятым.
Решение:
Таким образом, средняя гармоническая, как правило, будет использоваться, когда нет частоты признака (fi,) но есть данные о произведении xi*fi.
Средняя квадратическая используется для расчета средних отклонений, например, при расчете показателей вариации.
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда между осредняемыми признаками имеется мультипликативная зависимость (т.е. между собой связанные значения признаков умножаются либо делятся). Например, для расчета средних индексов и средних типов роста.
Средняя хронологическая используется в тех случаях, когда рассчитывают средний уровень динамических рядов.
III. Свойства средних величин.
- Если все частоты признаков изменить на какое-либо одинаковое число, среднее значение от этого не изменится.
Пример:
| xi | fi 1 | fi 2 |
| 5 | 10 | 5 |
| 8 | 20 | 10 |
| 9 | 10 | 5 |
| 10 | 8 | 4 |
| 15 | 10 | 5 |
Решение:
- Если значения признака разделить или умножить на какое-либо одинаковое число k, то значение средней величины уменьшится или увеличится в k раз.
- Если от индивидуальных значений признака отнять или прибавить какое-либо постоянное число k, среднее значение уменьшится или увеличится на k единиц.
IV. Структурные средние величины
Обычные средние величины не всегда красноречиво характеризуют структуру совокупности. Поэтому в статисттике для анализа рядов распределения используют структурные средние: моду и медиану.
Мода – это признак, наиболее часто встречающийся в совокупности.
В дискретном вариационном ряду модой является признак, имеющий наибольшую частоту.
В интервальном ряду определить моду несколько сложнее. Для ее нахождения используется специальная формула:
Где Мо – мода;
Хмо – значение нижней границы модального интервала;
fмо - частота модального интервала;
i мо – величина модального интервала;
f мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Медиана – это величина, которая делит частоты упорядоченного вариационного ряда пополам.
В дискретном ряду распределения медиана – это значение признака, расположенного в центре ряда.
В интервальном ряду распределения медиана определяется по формуле:
где Мме - медиана;
х ме - нижняя граница модального интервала;
i ме - величина модального интервала;
Σ f - полусумма частот ряда;
S ме-1 – сумма частот , накопленных в интервалах, предшествующих медианному;
fме - частота медианного интервала.
Медианным считается интервал, сумма накопленных частот которого превышает половину общего объема совокупности.
Рассмотрим методику рассчета моды и медианы на конкретном примере .
Пример 1. Распределение населения России по размеру среднедушевого денежного дохода
( январь – апрель 1997 года).
Среднедушевой численность
денежный доход населения,
в месяц, тыс. руб в %
до 400 20,8
400,1 – 600,0 21,2
600,1 - 800,0 17,2
800,1 – 1000,0 12,3
1000,1 – 1200,0 8,5
1200,1 – 1600,0 9,9
1600,1 – 2000,0 4,8
свыше 2000,0 5,3
V. Показатели вариации.
Средние величины не дают представления о том, как отдельные значения изучаемого признака распределяются внутри изучаемой совокупности, группируются ли они вокруг средней или значительно от нее отклоняются. Колеблемость отдельных признаков вокруг средней характеризуется показателями вариации.
1. Размах вариации.
Он находится как разность между максимальным и минимальным значениями признака
R = х max – хmin (3),
2. Среднее линейное отклонение.
Где хi - индивидуальное значение признака;
x – среднее значение признака;
n - количество единиц совокупности;
fi - вес индивидуальной единицы совокупности;
Σ f i - общий объем совокупности.
3. Дисперсия.
Она определяется как средняя из отклонений, возведенных в квадрат.
4. Cреднее квадратическое отклонение.
Оно находится как квадратный корень из дисперсии и показывает, на сколько единиц в среднем каждое индивидуальное значение признака отклоняется от среднего значения признака.
5 . Коэффициент вариации.
Является мерой колеблемости всех единиц совокупности и показывает, на сколько процентов в среднем каждое индивидуальное значение признака отклоняется от средней.
Если коэффициент вариации превышает 40 %, это свидетельствует о высокой колеблемости признака в изучаемой совокупности.