Пример решения задач по теме

«Экспериментально-статистические методы обработки результатов эксперимента»

Задание 1. Расчет оценок математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения.

При оценке качества нагрева металла в нагревательных печах листопрокатного стана получены следующие данные по температуре поверхности заготовок после черновой группы стана (⁰С):

№ п/п	Вариант 1

Необходимо определить статистические характеристики m_x^*, D_x^*, _x^*.

Решение (вариант 1).

Найдем оценку математического ожидания для случайной величины Х – температуры поверхности заготовок:

Вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления оценки дисперсии случайной величины Х приведены в таблице:

№ п/п	Xi - mx*	(Xi - mx*)2
	2,2	4,84
	7,2	51,84
	17,2	295,84
	-12,8	163,84
	-27,8	772,84
	3,2	10,24
	12,2	148,84
	4,2	17,64
	-7,8	60,84
	2,2	4,84
Σ		1531,60

Среднеквадратичное отклонение температуры раската будет равно:

Задание 2. Расчет ошибки опыта и доверительного интервала.

Результаты измерения содержания кислорода в продуктах сгорания на выходе из методической печи дают следующие значения (%):

№ п/п	Вариант 1
	4,26
	3,70
	3,90
	4,15
	3,65
	4,05
	3,96
	3,78
	3,62

Определить ошибку опыта и доверительный интервал с вероятностью Р=0,95.

Решение (вариант 1).

%.

(%)².

_x^*=0,227%.

Ошибка опыта для E_mx будет равна

E_mx=t_T0,227/3.

Значение критерия Стьюдента t_T=2,31 находим из таблицы для f=N-1=8; q=5%.

Значит E_mx=2,31·0,227/3=0,175%.

Истинное значение математического ожидания с вероятностью 95% находится в доверительном интервале 3,897±0,175%, или 3,7225≤3,897≤4,0725. Доверительный интервал для дисперсии переменной вычисляется по формуле

где D_x – дисперсия переменной Х;

f – число степеней свободы;

- значение - распределения для q/2 уровня значимости;

- значение - распределения для 1-q/2 уровня значимости.

Задание 3. Выявление наличия корреляционной зависимости между случайными величинами.

Были проведены семь опытов по изучению процесса обжига извести в печи с кипящим слоем при определенной температуре. При этом факторами приняты: время контакта материала с греющей средой (с) – Х₁; соотношение расходов воздуха и материала (г/г) – Х₂. В качестве переменной состояния – выход обожженной извести (%). Результаты эксперимента приведены в таблице:

№ варианта	№ п/п	Х1	Х2	Y
		0,68		50,0
	0,65		30,9
	0,43		36,7
	0,45		37,0
	0,46		20,5
	0,45		17,3
	0,42		51,0

Требуется определить коэффициенты корреляции между факторами и между факторами и переменной состояния, т.е. коэффициенты ; оценить значимость полученных значений коэффициентов корреляции по критерию Стьюдента.

Решение (вариант 1).

Исходные данные и результаты предварительных вычислений сведены в таблицу:

№ п/п	Х1	Х2	Y	X12	X22	X1X2	X1Y	X2Y	Y2
	0,68		50,0	0,4624		21,76	34,00
	0,65		30,9	0,4225		63,05	20,085	297,3	954,81
	0,43		36,7	0,1849		36,56	15,781	3119,5	1346,89
	0,45		37,0	0,2025		44,10	16,65		1369,0
	0,46		20,5	0,2116		69,00	9,43		420,25
	0,45		17,3	0,2025		69,75	7,785	2681,5	299,29
	0,42		51,0	0,1746		58,38	21,42
Σ	3,54		243,4	1,8628		362,59	125,15	24188,3	9491,2

где U=1,2,3,…,N;

i=1,2,3,…,n;

j=1,2,3,…,m;

N – число опытов;

- оценки математических ожиданий каждого фактора;

- оценки среднеквадратичных отклонений.

Определяем расчетное значение критерия Стьюдента для каждой переменной:

Табличное значение критерия Стьюдента определяем для f=N-2=5; q=0,05 по таблице.

t_Т=2,57.

Поскольку все расчетные значения критерия Стьюдента меньше табличного, то это позволяет сделать вывод:

Корреляционной связи между случайными переменными Х₁, Х₂ и Y нет, т.е. они статистически независимы.

Задание 4. Практическая реализация полного факторного эксперимента.

Задача 1.

Целью эксперимента является определение зависимости скорости нагрева металла в мартеновской печи y( ) от величины абсолютного избытка воздуха и тепловой нагрузки в период чистого кипения.

Уровни варьирования факторов.

Уровни	Факторы
,	, МВт
Основной Нижний Верхний Интервал варьирования	7* 4* 10* 3*	33,5* 30* 37* 3,5*

Вариант 1.

Карта проведения эксперимента

№ опыта	Порядок реализации опытов по рандомизации (две серии)	Матрица планирования	Выход y, °С/ч
	2; 3 3; 1 4; 4 1; 2	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	+1 -1 -1 +1

Решение задачи 1 (вариант 1).

1. Рассчитывают построчные средние

где γ – чило повторных опытов:

.

Результаты расчета заносятся в столбец карты проведения эксперимента.

1. Определяют построчные дисперсии (дисперсии воспроизводимости)

Сумма построчных дисперсий:

1. Проверяют воспроизводимость опытов по критерию Кохрена:

где - максимальная из построчных дисперсий.

Опыты равноточны, если G< , где - табличные значения критерия Кохрена, выбираемое в зависимости от N, γ и уровня значимости (надежности). Для данного случая при N=4, γ=2, p=0,95 табличное значение =0,906, т.е.

G< .

В случае неравноточности опытов необходимо увеличить число повторных экспериментов или повысить их точность.

4. Определяют коэффициенты уравнения регрессии по формулам:

1. Проверяют значимость коэффициентов регрессии. Для этого определяют дисперсию эксперимента:

а также усредненную дисперсию эксперимента с учетом повторных опытов

Определяют ошибку и среднюю квадратичную ошибку коэффициенто регрессии и

Находят значение доверительного интервала для коэффициентов регрессии

где t – табличное значение критерия Стьюдента, выбираемое в зависимости от числа степеней свободы и выбранного уровня значимости (обычно 0,05).

Коэффициент значим, если его абсолютное значение больше доверительного интервала, т.е. коэффициент должен бать больше ошибки его определения, взятой с определенным запасом.

В данном примере при значение критерия Стьюдента t=2,78.

Значение доверительного интервала

Сравнивают полученные коэффициенты с доверительным интервалом:

- значим

- незначим

- значим

- значим

Т.о. один из коэффициентов регрессии оказался незначим и окончательно уравнение регрессии запишется в виде

При необходимости перехода от кодированных переменных к натуральным следует подставить в полученное уравнение соответствующие соотношения связи между этими переменными.

1. Проверяют адекватность (пригодность) модели, т.е. насколько хорошо полученное уравнение описывает результаты эксперимента в исследуемой области.

Для этого чаще всего применяют критерий Фишера:

где - усредненная дисперсия эксперимента;

- дисперсия адекватности или остаточная дисперсия

здесь - рассчитанные полученному уравнению значения выхода при значениях кодированных переменных, соответствующих каждой из строк матрицы планирования.

- усредненное значение выхода, полученное при реализации повторных опытов для соответствующей строки.

Модель можно считать адекватной, если F<Fтабл. Табличное значение критерия Фишера находят в зависимости от числа степеней свободы и , где

N – число вариантов опытов(строк) в матрице планирования;

K – число варьируемых факторов;

γ – число повторных опытов.

В данном примере для определения вычислим сначала значения выхода, предсказываемые полученным выше уравнением регрессии:

- посчитаны выше.

Получим

Ранее получено значение

Вычисляем значение критерия Фишера F=1,0/56,5=0,02.

Fтабл=7,7 при

F<Fтабл, т.е. имеются основания сделать вывод об адекватности полученной модели.