Задание 2: (действия с матрицами)

РАБОТА В РЕЖИМЕ ПРЯМЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

1) Вычисляемое выражение набирается, редактируется (если нужно) в командной строке, ввод завершается нажатием клавиши ENTER.

Средства для редактирования в командной строке: клавиши ← и → - перевод курсора вдоль строки, Home, End – быстрый переход к началу и концу строки, ↑ и ↓ - клавиши перелистывания строк (с их помощью в командной строке можно восстановить для редактирования и выполнения ранее выполнявшиеся операторы), клавиши Delete и Backspace (← в верхней строке клавиатуры) – для удаления символа над курсором и слева от него. Кроме того, в командном окне имеется сверху панель инструментов, позволяющая делать стандартные операции копирования, удаления, вставки из буфера обмена и др.

2) Для переноса длинного выражения на другую строку используется многоточие (… - три или более точек в конце строки). При нажатии ENTER курсор переместится в начало следующей строки, где можно продолжать набор оператора.

3) Основные системные переменные:

pi – значение числа π

ans – хранит результат последней выполненной операции (в том числе

и если этот результат – массив чисел). К ней можно обращаться

по имени, что бывает удобно при программировании.

inf - символ машинной бесконечности. Положительная величина,

которая больше чем любое представимое в оперативной памяти

компьютера положительное число, что так же бывает удобно

иметь при составлении алгоритмов.

i- мнимая единица – sqrt(-1). MATLAB выполняет действия в алгебре

комплексных чисел вида z = x+ i*y, где x – вещественная часть,

y – мнимая часть числа.

4) Знаки основных арифметических операций:

‘+ ‘- сложение, ‘-‘ – вычитание , ‘*’ – умножение, ‘/’ – деление слева направо, ’\’ – деление справа – налево, ‘^’ – возведение в степень.

Знаки операций применимы к векторным и матричным операндам.

Так, результаты операций A/B и B\A могут быть различны. Кроме того, одна из этих операций может быть возможна, в то время как другая – нет. Первая: A/B выполняется как A*inv(B), а вторая: B\A – как inv(B)*A. Вспомним, что умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Знак умножения, примененный к матричным операндам, выполняет операцию умножения матриц по правилам матричной алгебры.

5) Постановка знака ‘;’в конце вычисляемого выражения не обязательна, его присутствие блокирует вывод на экран компьютера результата выполнения выражения, после которого он поставлен. Установка точки с запятой в конце каждого оператора желательна при написании М-программ, особенно – когда промежуточными результатами являются массивы чисел. (Заметим, правда, что иногда полезно умышленно опустить точку с запятой, если вывод вычисленного значения оператора желателен).

Действия с векторами и матрицами в MATLAB

Перейдем теперь в командное окно MATLAB. Выполните в командном окне предлагаемые далее действия с матрицами. При этом данный текст лучше не закрывать, а свернуть его, нажав на кнопку “-“ в правом верхнем углу окна Microsoft Word. (В этом случае вы сможете восстановить этот текст в процессе работы, активизируя его нажатием левой клавиши мыши на нижней панели)

Задание 1: (действия с векторами)

1) Введите вектор 'a' из 9 элементов. С экрана элементы вектора вводятся в квадратных скобках, разделяемые пробелом.

a = [1 2 3 4 6 4 3 4 5] % Вводите свой вектор с другими значениями.

Нажмите ENTER, посмотрите на сообщение на экране.

2) Теперь выполните то же но с точкой с запятой:

a = [1 2 3 4 6 4 3 4 5]; % Используйте клавиши перелистывания ↑ и ↓, чтобы не

% повторять набор заново!!

Нажмите ENTER, посмотрите на сообщение на экране.

3) Прибавьте число 2 к элементам вектора а :

Выполните оператор:

b = a + 2 % Сейчас мы умышленно не ставим точку с запятой, чтобы

% посмотреть на результат

4) Транспонируем вектор b:

C=b’ % Знак транспонирования матрицы – апостроф ‘ (соответствует

% клавише буквы Э на нижнем регистре латиницы)

5) Попробуйте выполнить операцию

D= a+C % убедитесь, что она невозможна, поймите почему (?).

Выполните

D=a’+C

Выполните слияние:

E=[a;b]

E=[E;b]

6) Постройте график значений элементов вектора b относительно номера компоненты:

plot(b)

grid on

Постройте гистограмму:

bar(b)

ГЕНЕРАЦИЯ ВЕКТОРОВ (ранжированных переменных, т.е. массивов с постоянным шагом)

Выполните операторы:

X=1:10 % шаг 1 % не ставьте точки с запятой, наблюдайте результаты

Y=0:0.25:1 % шаг 0.25

Z=0:pi/4:2*pi % шаг pi/4

X1=0:0.1*pi:4*pi

Y1=sin(X1)

Постройте графики:

plot(X1,Y1,X1,cos(X1))

Команда plot позволяет задать стиль и цвет линий.

Выполните:

plot(X1, Y1, 'g-', X1, cos(X1), ‘k:’)

Некоторые свойства линий:

Цвет	Тип маркера	Тип линий
y	желтый	.	точка	–	сплошная
m	розовый	o	кружок	:	пунктирная
c	голубой	+	знак «плюс»	-.	штрих-пунктирная
r	красный	*	звездочка	--	штриховая
g	зеленый	s	квадрат
b	синий	d	ромб
w	белый	v	треугольник вершиной вниз
k	черный	^	треугольник вершиной вверх
		<	треугольник вершиной влево
		>	треугольник вершиной вправо
		p	пятиконечная звезда
		h	шестиконечная звезда

Задание 2: (действия с матрицами)

% Создание матриц производится так же как и создание векторов, при этом

% используется знак (;) , чтобы отделить вводимые строки матрицы.

Введите матрицу размерности (3,3):

A = [1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1] % Введите свои значения. Не ставьте блокировку (;),

% чтобы следить за результатами.

Транспонируйте матрицу 'A' :

B = A'

Выполните умножение

C = A * B

Возведите квадратную матрицу в 5 степень:

F=A^5

Найдите обратную матрицу:

X = inv(A)

Вычислите матрицу

I =A*inv(A) % ясно, что должна получиться единичная матрица

Вычислите определитель матрицы:

D=det(A)

% В любой момент мы можем получить список значений переменных, хранящихся в памяти

% используя команды "who" или "whos".

Выполните:

who

whos

% Вы можете получить на экране значение любой переменной, набрав в командной строке имя переменной и нажав вслед за тем ENTER.

Выполните:

A % ENTER

X % ENTER

F % ENTER

ПОЭЛЕМЕНТНОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Арифметические операции умножения, деления и возведения в степень имеют своих двойников с поэлементным выполнением. Поясним: пусть

x=[1 2 3 4]иy=[5 6 7 8].

Предположим, что вам хотелось бы перемножить (поделить, возвести в степень) элементы векторов x и y.

Если мы напишем x*y или x/y или x^3, то получим сообщение об ошибке, так как строки нельзя перемножить, разделить друг на друга по правилам матричной алгебры (несоответствие размерностей). Однако для получения желаемого результата в MATLAB есть дубли арифметических операций. Они имеют те же значки, что и основные операции, но с точкой перед знаком операции.

Выполните в командном окне:

x=[1 2 3 4]

y=[5 6 7 8]

x.*y % Результат – вектор, элементы которого равны произведениям соответствующих элементов векторов x и y

x./y % Элементы x будут поделены на соответствующие элементы y

x.^3 % Элементы вектора x будут возведены в 3-ю степень.

MATLAB работает с комплексными числами и бесконечными величинами.

ВЫПОЛНИТЕ:

sqrt(-1)

log(0)

ГЕНЕРАЦИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МАТРИЦ:

Для создания специальных матриц существуют функции:

zeros – создание матрицы с нулевыми элементами,

ones - создание матрицы с единичными элементами,

rand – создание матрицы со случайными элементами (равномерно на [0,1] распределенными случайными числами),

eye – создание единичной матрицы

Выполните операции:

A = zeros(3,2)

B = ones(1,10)

C=rand(2,5)

E=eye(5)

МЕТОД ГАУССА

В заключение, решите систему 5-и линейных алгебраических уравнений с 5 неизвестными методом Гаусса.

Введите матрицу системы

A=rand(5,5) % здесь коэффициенты системы – случайные числа. Введите свои

% конкретные значения

B=rand(5,1) % вектор-столбец – правая часть системы уравнений, которая в

% матричной форме может быть записана как A*X=B, где X –

% столбец неизвестных. Решение системы, как известно,

% X=A^(-1)*B, где A^(-1) – обратная матрица для матрицы A

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ:

X=A\B % Оператор выполняется как inv(A)*B, что и требуется для решения

% системы. Отметим, что в действительности этот оператор

% выполняется путем реализации метода Гаусса для решения исходной

% системы линейных алгебраических уравнений.

Таким образом, для того, чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса в MATLAB, достаточно выполнить всего один оператор – оператор деления (справа – налево) правой части системы на матрицу системы уравнений.