Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32)

Д.у. вида Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , где Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru -постоянные или непрерывные функции ~x называются линейными д.у. первого порядка. Неоднородным, если Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru и однородным, если Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru . Его решение ищут в виде Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Так как у нас имеется лишняя степень свободы, то на одну из функции наложим дополнительное условие, в нашем случае потребуем, чтобы Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , тогда для функции Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru получим уравнение Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Итак, Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Замечание:линейное д.у. первого порядка, когда Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , т.е. д.у. вида Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru может быть решено и другим способом, как линейное д.у. первого порядка с постоянными коэффициентами.

К линейным д.у. первого порядка примыкает и уравнение Бернулли, т.е. уравнение вида: Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru Это уравнение можно привести к линейному д.у. подстановкой Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Замечание:

1) К уравнению Бернулли приводит задача о движении тела в среде, когда сила сопротивления среды зависит от скорости нелинейно, т.е. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

2) Решая уравнение Бернулли ищут , не приводя его к линейному подстановкой Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , т.е. как линейное.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).

Д.у. первого порядка вида Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Это отношение является необходимым и достаточным условием, чтобы д.у. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru было д.у. в полных дифференциалах, т.е. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru - общий интеграл.

Действительно:

1) Необходимость: докажем, что если Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , то Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , так как Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , то Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru и Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru Отсюда находим Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru и Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Но Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , если они непрерывны в данной точке Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

2) Достаточность: Пусть Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Докажем, что существует Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru такая, что Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru Отсюда следует Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru и Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru . Проинтегрируем любое из этих уравнении по x или по y соответственно, например первое.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Итак Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Отсюда находим

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Отсюда Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Из (*) и (**) следует Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Общий интеграл исходного д.у. есть Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru и следовательно Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Замечание:из доказательства пункта 2 следует метод решения уравнений в полных дифференциалах, т.е. из условий Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru ищется Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Если д.у. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru не является д.у. в полных дифференциалах, т.е. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , то существует такой множитель Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru , который называется интегрируемым множителем, что д.у. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru будет д.у в полных дифференциалах, т.е. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru (3) Это уравнение является д.у. частных производных для нахождения функции Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru . В двух частных случаях уравнение легко решится:

1) Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru Из уравнения (3) находим Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru (4)

Если это так, то Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru находится из (4): Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

2) Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru Из уравнения (3) находим Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru (5)

Если это так, то Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru находится из (5): Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru

Замечание:д.у. в полных дифференциалах может быть как д.у. с разделяющимися переменными, однородным или линейным. Следовательно, перед тем как проверять условие Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru необходимо убедиться, что оно не является д.у. с разделяющимися переменными, однородным, линейным или уравнением Бернулли. (смотрите последний пример)

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru д.у. с разд. переменными и однородным.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32) - student2.ru - однородное.

Наши рекомендации