Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32)
Д.у. вида , где -постоянные или непрерывные функции ~x называются линейными д.у. первого порядка. Неоднородным, если и однородным, если . Его решение ищут в виде
Так как у нас имеется лишняя степень свободы, то на одну из функции наложим дополнительное условие, в нашем случае потребуем, чтобы , тогда для функции получим уравнение
Итак,
Замечание:линейное д.у. первого порядка, когда , т.е. д.у. вида может быть решено и другим способом, как линейное д.у. первого порядка с постоянными коэффициентами.
К линейным д.у. первого порядка примыкает и уравнение Бернулли, т.е. уравнение вида: Это уравнение можно привести к линейному д.у. подстановкой
Замечание:
1) К уравнению Бернулли приводит задача о движении тела в среде, когда сила сопротивления среды зависит от скорости нелинейно, т.е.
2) Решая уравнение Бернулли ищут , не приводя его к линейному подстановкой , т.е. как линейное.
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
Д.у. первого порядка вида называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если
Это отношение является необходимым и достаточным условием, чтобы д.у. было д.у. в полных дифференциалах, т.е. - общий интеграл.
Действительно:
1) Необходимость: докажем, что если , то , так как , то и Отсюда находим и
Но , если они непрерывны в данной точке
2) Достаточность: Пусть
Докажем, что существует такая, что Отсюда следует и . Проинтегрируем любое из этих уравнении по x или по y соответственно, например первое.
Итак
Отсюда находим
Отсюда
Из (*) и (**) следует
Общий интеграл исходного д.у. есть и следовательно
Замечание:из доказательства пункта 2 следует метод решения уравнений в полных дифференциалах, т.е. из условий ищется
Если д.у. не является д.у. в полных дифференциалах, т.е. , то существует такой множитель , который называется интегрируемым множителем, что д.у. будет д.у в полных дифференциалах, т.е. (3) Это уравнение является д.у. частных производных для нахождения функции . В двух частных случаях уравнение легко решится:
1) Из уравнения (3) находим
(4)
Если это так, то находится из (4):
2) Из уравнения (3) находим
(5)
Если это так, то находится из (5):
Замечание:д.у. в полных дифференциалах может быть как д.у. с разделяющимися переменными, однородным или линейным. Следовательно, перед тем как проверять условие необходимо убедиться, что оно не является д.у. с разделяющимися переменными, однородным, линейным или уравнением Бернулли. (смотрите последний пример)
д.у. с разд. переменными и однородным.
- однородное.