ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

Вычисление предела последовательности.

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы, вытекающие из определения предела:

1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Пример 1. Найти предел: ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Как показывает решение задачи, подстановка предельного значения приводит к неопределенности ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru . Часто встречаются неопределенности вида ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru . Нахождение предела последовательности в этих случаях называют раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразования данного выражения.

Решение примера 1: Поделим числитель и знаменатель на наивысшую степень n, в данном случае на n ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru :

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru .

Т.к. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru (см. пр.3 Л.р.№3).

Пример 2. Найти предел: ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Решение: Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела на выражение сопряженное ему:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru .

Пример 3.Найти предел: ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Решение: Воспользуемся 2-м замечательным пределом: ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

= ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru .

ВАРИАНТЫ.

Найти следующие пределы.

В-1

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-2

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-3

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-4

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-5

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-6

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-7

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-8

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-9

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-10

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-11

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-12

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-13

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-14

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-15

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-16

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-17

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-18

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-19

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-20

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-21

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-22

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-23

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-24

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

В-25

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

5) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.

Предел функции.

Опр.1.Число ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru называется пределом функции ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru при ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , если для любой окрестности ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru числа ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru существует такая проколотая окрестность ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru числа a, что для всех ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Это определение по Коши. Число ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru может быть как конечным, так и бесконечным. В частности, если числа ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru и а конечны, получаем следующее определение (на языке “ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru - ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ”).

Опр.2. Число ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru называется пределом функции ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru при ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , если для всякого ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru существует такое число ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru < ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru и входящих в область определения функции ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , справедливо неравенство:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru (1)

и обозначается ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Если а = + ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , то получаем следующее определение.

Опр.3.Число ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru называется пределом функции ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru при ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , если для всякого ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru существует такое число ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru и входящих в область определения функции ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , справедливо (1) и обозначается:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru (определение “ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru -C”).

Определение предела функции по Гейне: Число А называется пределом функции y=f(x) при ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru (в точке a), если для любой сходящейся к числу а последовательности ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru значений х, входящих в область определения функции и отличных от a, соответствующая последовательность ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru этой функции сходится к числу А.

Пример 1. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru .

Решение: Рассмотрим любую последовательность ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , удовлетворяющую двум условиям:

1) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

2) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru .

Этой последовательности ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru соответствует последовательность значений функции:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Тогда на основании свойств сходящихся последовательностей (каких?) будем иметь

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Т.о. независимо от выбора последовательности ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , сходящейся к числу 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , соответствующая последовательность значений функции ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru А это на основании определения предела функции по Гейне значит, что ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Замечание 1: Определением предела по Гейне удобно пользоваться тогда, когда доказывается, что функция f(x) не имеет предела. Для этого достаточно показать, что существует две последовательности ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru но соответствующие последовательности ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru имеют неравные пределы.

Пример 2: Доказать, что ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru не существует.

Решение: возьмем

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Тогда соответствующие последовательности значений функции таковы:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Следовательно,

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , т.е. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru не существует

Замечание 2: Пример 2 показывает, что вывод о наличии предела функции нельзя делать, исходя из последовательности {xn} частного вида (например, исходя из xn'' =1+ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ), а нужно рассматривать произвольную последовательность {xn }, имеющую заданный

предел а.

Пример 3: Пользуясь " ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ruЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru " определением предела, доказать, что

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru
Решение: Надо доказать, что для "e>0 существует такое de >0, что из неравенства 0 < |x-1| < de следует, что |f(x)-1| < e, f(x)=4x-3. Зададим

e > 0 и рассмотрим выражение: |f (x)-1|=|4x-3-1|= 4|x-1|.

Если взять de ≤ e/4, то для всех х, удовлетворяющих неравенству |x-1| < de, будем иметь |f(x)-1| = 4|x-1|<4de ≤ 4e/4=e.

Следовательно, ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Пример 4: f(x)=1/(x-1) доказать, что ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Решение: По определению ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru , если для " М>0 можно подобрать dМ>0, что для всех х¹а, удовлетворяющих неравенству

0<|x-a|<d, будет выполняться условие ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru >M. В нашем случае по заданному M>0 будем подбирать dМ из условия

| ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru 1/|x-1|>M Ú |x-1|<1/M.

Следовательно, положив dM=1/М, получим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-1|<dM, выполняется неравенство ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru M, значит,

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

ВАРИАНТЫ.

1. Доказать, что предел функции не существует:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

2. Доказать с помощью "e-d" определения существования следующих пределов и по заданным e, подобрать de: e1=0,5;e2=1;e3=1/100.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

3. Доказать, что

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 - student2.ru

Наши рекомендации