Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства
Из определения неопределенного интеграла следует, что:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Действительно, F'(x) = f(x) и ʃ f(x) dx = F(x) + C. Тогда
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
Действительно, 
3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная:
Действительно, F'(x) = f(x). Тогда, 
4. Неопределенный интеграл от дифференциала равен дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная:
.
Действительно, 
. Тогда,
.
5. Постоянный множитель k (k ≠ 0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
Назовем график первообразной F(x) интегральной кривой. График любой другой первообразной F(x) + C получается параллельным переносом интегральной кривой F(x) вдоль оси OY.
Пример.
Таблица основных интегралов
ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Непосредственное (табличное) интегрирование.
Непосредственное (табличное) интегрирование ‒ это приведение интеграла к табличному виду с помощью основных свойств и формул элементарной математики.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Метод подведения под дифференциал.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Пример 4.
Решение:
Пример 5.
Решение:
Пример 6.
Решение:
Пример 7.
Решение:
Пример 8.
Решение:
Пример 9.
Решение:
Пример 10.
Решение:
Второй способ подведения под дифференциал.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Методзамены переменной (подстановки).
Пример.
Решение:
Метод интегрирования по частям.
По этой формуле берутся следующие типы интегралов:
Тип.
,формула применяется n‒ раз, остальное dv.
Тип.
,формула применяется один раз.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Пример 4.
Решение:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов 
‒ степени m и 
‒ степени n,
Возможны следующие случаи:
1. Если 
, то применяют метод деления углом для исключения целой части.
2. Если 
и в знаменателе квадратный трехчлен 
, то применяют метод дополнения до полного квадрата.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
3. Метод неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Любую правильную рациональную дробь 
, где 
, можно представить в виде суммы простейших дробей:
гдеA, B, C, D, E, F, M, N,… ‒ неопределенные коэффициенты.
Для нахождения неопределенных коэффициентов надо правую часть привести к общему знаменателю. Так как знаменатель совпадает со знаменателем дроби правой части, то их можно отбросить и прировнять числители. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений с n‒ неизвестными. Решив эту систему, найдем искомые коэффициенты A, B, C, D и так далее. А, следовательно, разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби.
Рассмотрим на примерах возможные варианты:
1. Если множители знаменателя линейны и различны:
2. Еслисреди множителей знаменателя есть краткие множители:
3. Если среди множителей знаменателя есть квадратный трехчлен, неразложимый на множители:
Примеры: Разложить на сумму простейших рациональную дробь. Проинтегрировать.
Пример1.
Так как знаменатели дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е.
Далее сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях xв левой и правой частях. Получаем систему:
значит
поэтому
Пример 2.
Отсюда
Значит
Поэтому
тогда
Пример 3.
Значит
тогда
