Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

где Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru .

Решим соответствующее однородное уравнение: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Частное решение ищем в виде: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru , где Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Т.е. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Итого, частное решение: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

где число r показывает сколько раз число Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т.е. если уравнение имеет вид: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru , то частное решение этого уравнения будет Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru и Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

Пример. Решить уравнение Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).

Составим и решим характеристическое уравнение: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

1. Для функции f1(x) решение ищем в виде Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru .

Получаем: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru Т.е. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Итого: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru .

Анализируя функцию f2(x), получаем: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Таким образом, Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Итого: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Т.е. искомое частное решение имеет вид: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Рассмотрим примеры применения описанных методов.

Пример. Решить уравнение Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Общее решение однородного уравнения: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru Частное решение имеет вид: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Общее решение линейного неоднородного уравнения: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Пример. Решить уравнение Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Характеристическое уравнение: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Общее решение однородного уравнения: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Частное решение неоднородного уравнения: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение. Совокупность соотношений вида:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru (1)

Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ruЛинейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru непрерывны и имеют непрерывные частные производные по Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru , то для любой точки Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru этой области существует единственное решение

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru

Определение. Общим решениемсистемы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru , Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru , … Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными - student2.ru , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.

Наши рекомендации