Определение производной
Определение 2.1:Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:
.
Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.
Механический смысл производной:скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .
Геометрический смысл производной:тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции , вычисленной в точке касания, т.е.
Уравнение касательнойк графику функции в точке :
Уравнение нормали к графику функции в точке :
Таблица производных
Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.
Найти производные функций:
Пример 1:
+
Пример2:
Пример 3:
Дифференцирование сложной функции
Пусть y= y(u) , где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция.
Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную функции
Решение: =
Пример 2: Найти производную функции
Решение:
=
+
Производные высших порядков
Определение2.2: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .
Определение 2.3 : Производная третьего порядка (третья производная) от функции y=f(x) есть производная от ее второй производной: .
Определение 2.4 : Производная n-ого порядка(n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: .
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную второго порядка .
Решение:
Пример2: Найти производную второго порядка функции .
Решение:
Исследование функции с помощью производной
Определение 2.5:Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство:
.
Определение 2.6:Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство:
.
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения экстремумов функции