Характеристического уравнения
Установившийся режим работы электроэнергетических систем предполагает непрерывное, стохастическое изменение во времени большого количества нагрузок. Это приводит к появлению на генераторах системы дополнительных малых моментов DM, которые также стохастически увеличивают и уменьшают моменты, действующие на валах этих генераторов и смещающие их роторы на малые углы Dd. Возникающие при этом переходные процессы могут быть описаны дифференциальными уравнениями относительно малых Dd. Порядок уравнений определяется сложностью рассматриваемой электрической системы.
Рассмотрим простейший случай:
 |
Станция - шины бесконечной мощности. Проанализируем статическую устойчивость системы (рис.2.5) при отсутствии нагрузки в узлах 1, 2, 4 и подключении к узлу 3 синхронного неявнополюсного генератора. Для решения этой задачи целесообразно привести исходную расчетную схему (рис.2.5) к эквивалентному виду (рис.3.1).
Если не учитывать переходные процессы в обмотке возбуждения генератора, но учесть демпфирующие моменты, дифференциальное уравнение относительно Dd имеет вид [4]:
(3.3)
где 
- постоянная инерции [4,6]; 
- коэффициент демпфирования[4,6].
Коэффициент уравнения 
(3.3) определяется исходя из соотношения
, (3.4)
где 
- синхронная ЭДС; 
- напряжение системы; d- угол между векторами и . Значение 
определяется по формуле
, (3.5)
где 
- расчетное эквивалентное сопротивление системы; 
- синхронное индуктивное сопротивление генератора по продольной оси. Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
(3.6)
Определив значения корней характеристического уравнения (3.6), на основе теоремы Ляпунова можно судить об устойчивости системы.
Зададимся исходными параметрами генератора [7] и системы. Расчет будем вести в относительных единицах:
, - базисные значения
=1.07, =1, 
=60, 
=1,7 = 14 с - для всех вариантов задания
- задается по вариантам 
Для определения коэффициента по (3.4) необходимо рассчитать значение эквивалентного сопротивления системы , которое соответствует диагональному элементу матрицы узловых сопротивлений 
, = 
, так как генератор подключен к узлу 3 .
Матрица узловых сопротивлений , обратная по отношению к матрице узловых проводимостей 
, поэтому выполняется соотношение
(3.7)
где 
- единичная матрица;
= 
- матрица узловых сопротивлений (рис. 2.5)
Отсюда следует матричное уравнение для определения элемента 
(3.8)
При решении системы уравнений (3.8) воспользуемся результатами расчета узловых напряжений методом Гаусса по матричному уравнению (2.7-2.10). Поскольку матрица коэффициентов одинаковая , заменим вектор неизвестных 
в (2.5) на столбец 
, а столбец свободных членов 
на столбец единичной матрицы. Тогда все преобразования до третьего ключевого уравнения не изменятся.
Запишем преобразованную систему , начиная с третьего ключевого уравнения:
(3.9)
Завершим прямой ход Гаусса:
тогда 
Переведем и в относительные единицы:
где 
-синхронная угловая частота.
При 
=3000 об/мин - 
Определим значение коэффициента
= 
Найдем корни характеристического уравнения вида (3.6)
= 
;
= 
Исходя из теоремы Ляпунова, система является статически устойчивой, поскольку оба корня содержат отрицательную вещественную часть .
Кроме того, по корням характеристического уравнения можно определить вид переходного процесса при отклонении угла Dd (табл.9.1[4]). В рассмотренном примере система колебательно устойчива, изменения Dd(t)имеют вид затухающих гармонических колебаний с частотой около 
или 