Расчетная модель к теореме Кастильяно

При переходе от состояния Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru балки к состоянию Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru все нагрузки Р опустятся, значит, их потенциальная энергия уменьшится. Так как равновесие не нарушалось, то уменьшение, энергии нагрузок Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru целиком преобразовалось в увеличение потенциальной энергии деформаций балки dU. Величина Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru измеряется работой внешних сил при переходе балки из положения Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru в положение II:

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru ,..., произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменных Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , поэтому дифференциал такой сложной функции равен:

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Что касается величины Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , то эта работа в свою очередь является разностью работы нагрузок Р для положений Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru и Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru :

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Работа Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru при одновременном и постепенном возрастании сил Р равна:

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

При вычислении работы Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru учтем, что ее величина всецело определяется окончательной формой деформированной балки и не зависит от порядка, в котором производилась нагрузка.

Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru ; балка очень немного прогнется (Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будут Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru . Работа статически приложенной нагрузки Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru будет равна Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru . После этого начнем постепенно нагружать балку одновременно возрастающими грузами Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru .

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Рис.2. Расчетная модель к теореме Кастильяно.

К первоначальным прогибам Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru добавятся прогибы Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru (Рис.2). При этой стадии нагружения силы Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru произведут работу Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , кроме этого, произведет работу уже находившийся на балке груз Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru ; он пройдет путь Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , и так как при втором этапе нагружения он оставался постоянным, то его работа равна Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru Балка займет положение Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , показанное на Рис.2 пунктиром.

Таким образом, полная работа, проделанная внешними нагрузками при переходе балки из недеформированного состояния в положение Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , будет равна.

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Теперь вычислим

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости, получаем:

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Подставляя полученные значения dU и Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru в исходное уравнение, находим

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

или

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Таким образом, в рассмотренном случае прогиб точки приложения сосредоточенной силы Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе.

Полученный результат можно обобщить. Пусть на балку помимо сосредоточенных сил Р действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис.3). Мы можем повторить предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru в положение Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru путем добавки Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru к паре Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru . Весь ход рассуждений остается без изменений, надо будет лишь при вычислении работы моментов Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru ... умножать их не на прогибы, а на углы поворота Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru ,... тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru станет Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , и в итоге получим:

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Рис.3. Обобщенная расчетная модель к теореме Кастильяно.

Так как Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru — это перемещение, соответствующее силе Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , a Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru — перемещение, соответствующее силе Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru то полученные нами результаты можно формулировать так: производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 г.

Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих выводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из большого числа сосредоточенных сил.

Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.

Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину потенциальной энергии U с изгибающими моментами:

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Изгибающий момент является линейной функцией нагрузок Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru …, Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru , Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru ,..., q, приложенных к балке:

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

в этом легко убедиться, просмотрев формулы для вычисления изгибающих моментов при построении эпюр. Следовательно, потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних нагрузок.

Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru . Получаем:

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенного интеграла по параметру, так как М(х)— функция и Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru и х, интегрирование производится по х, а дифференцирование по параметру Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru . Как известно, если пределы интеграла постоянны, то следует просто дифференцировать подинтегральную функцию.

Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силы Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru равен:

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

а угол поворота сечения с парой Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Расчетная модель к теореме Кастильяно - student2.ru

Напомним, что знак предела l условно показывает, что интеграл должен охватить всю балку.

Наши рекомендации