Альтернативный оптимум
Задача № 3.3.
Решить симплексным методом задачу
(3.21)
(3.22)
.
Решение.
Для решения поставленной задачи симплексным методом от стандартной формы записи задачи ЛП перейдем к канонической. Ведем балансовые переменные 
:
(3.23)
Составим расширенную матрицу системы :
По теореме Кронекера - Капелли система (3.23) совместна и имеет бесчисленное множество решений.
Так как ранг системы (3.23) равен двум, то базисных переменных будет ровно две. На первом шаге в качестве базисных переменных удобно взять балансовые переменные , так как система (3.23) легко разрешима относительно этих переменных.
I. - базисные переменные;
- свободные переменные.
Систему (3.23) решим относительно базисных переменных:
(3.24)
. (3.25)
Обнулив свободные переменные, получим опорное решение:
; 
. Решение 
на данном шаге не является оптимальным, т.к. возможно дальнейшее увеличение целевой функции за счет введения в базис свободных переменных . Введем в базис переменную 
. Так как 
, то второе уравнение в системе (3.24) будет разрешающим. Выведем из базиса переменную 
.
II. 
- базисные переменные;
- свободные переменные.
Запишем выражения для базисных переменных и целевой функции через свободные переменные:
(3.26)
. (3.27)
- опорное решение; 
. Дальнейшее увеличение целевой функции невозможно, так как в выражении целевой функции через свободные переменные (3.27) отсутствуют положительные коэффициенты при свободных переменных. Следовательно, критерий оптимальности выполнен, 
- оптимальное решение исходной задачи.
Заметим, что в последнем выражении целевой функции через свободные переменные (3.27) отсутствует свободная переменная 
(можно сказать, что входит с нулевым коэффициентом). В связи с чем, изменение переменной не повлечет за собой значения целевой функции. Например, переменную введем в базисные переменные. В системе (3.26) разрешающим для переменной является второе уравнение ( 
). Выведем переменную 
из базиса, получим:
, (3.28)
.
Обнулив свободные переменные, получим опорное решение:
; 
.
В двух соседних вершинах области допустимых решений, при изменении 
, мы получили одно и то же значение целевой функции - 
, которое невозможно в данной задаче увеличить.
Для того, чтобы записать оптимальное решение, воспользуемся системой (3.26). Положим 
, где 
. В системе (3.26) переменная является свободной и в базисном решении 
. Отсюда 
; 
.
Ответ. 
, 
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 3.4.
Задачу ЛП решить симплексным методом:
.
Задача № 3.5.
Задачу ЛП решить симплексным методом:
.
Задача № 3.6.
Решить симплексным методом задачу № 1.2.
Задача № 3.7.
Решить симплексным методом задачу № 1.11.
Задача № 3.8.
Решить симплексным методом задачу № 2,7.
Задача № 3.9.
Решить симплексным методом задачу № 1.19.
Задача № 3.9.
Решить симплексным методом задачу № 2.6.