Производная сложной функции
Пример
31) Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.
1) Основные теоремы дифференциального исчисления:
1.1) (ax)’ = a(x)’
1.2) (u+v)’ = u’ + v’
1.3) (u*v)’=u’*v+u*v’
1.4) (u/v)’= 
2) Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей вида 
или 
при вычисления пределов.
Теорема (Правило Лопиталя) Если функции f(x) и g(x) дифференцируема в некоторой точке 
и ее окрестности и существуют пределы
Lim f’(x) и Lim g’ (x),
x-> x->
= 
37) Понятие функции нескольких переменных. Частные произведения 1-гопорядка ФНП. Полный дифференциал ФНП. Частные произведение высших порядков ФНП.
Если каждой точке М(х,у) ? D ставится в соответствие единственное число Ƶ=(x,y),то говорят что на множестве D задана функция двух переменных
Множества D называется областью определения функции Ƶ(это все точки с координатами (х,у) которые можно подставить в формуле и получить Ƶ)
Множество Е-называется областью значении (это все значения Ƶ которые получаются).
Ƶ=f(x,y)
Функция многих переменных
Производная первого порядка функции многих переменных
Частной производной по переменной х функции Ƶ=f(x,y) называется предел
Обозначается производной: 
или 
Частной производной по у называется
Обозначается : 
или 
Пример: найти частные производные и функции
Решение
= 
= 
0-0=
= 
5-0= 
Производная ФМП высшего порядка
Определение:Частными производными второго порядка функции Ƶ=f(x,y) называются частные производные ее частных производных
Найти частные производные второго порядка
= 
Решение:
1.Найдем и
= = 
= 
= 
= 
2.Найдем 
; 
; 
; 
= 
= 
= 
=6x 
= 
= 
= 
=2 
= 
= 
= 
=6 
y
= 
= 
= 
=6 y
Теорема: (Шварца)
Монотонность и экстремумы функций. Признак монотонности функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.
Монотонность
Если функция f(x) непрерывна и имеет производную на интервале (а,в), то функция f(x) – возрастает (убывает) на (а,в) если f’(x)>0 (f’(x)<0) на (а,в)
Замечание: промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности
Экстремум
Определение: Точка 
-точка максимума функции на (а,в) если для vxe(a,в) f( )>f(x)
Определение: Точка -точка минимума f(x) на (а,в) если для vxe(a,в) f( )<f(x)
Определение: Точки, в которых производна функции f(x) равно нулю или не существует называются критическими
Если f’(x) проходя через критическую точку меняет свои знак с:
А) «+» на «-», то -точка max
Б) «-» на «+», то -точка min
Определение: Значение функции в точках max и min называется экстремумом функции.
35. Выпуклость и перегиб.
Определение:
График функции f(x) называется выпуклым вверх на интервале (a,b) находятся выше.
График функции f(x) называется выпуклым вниз, если все касательные ниже.
Точки функции f(x) в которых меняет перегиб f(x) называется точками перегиба.
Теорема
Если F’’ (x)< 0 на (a,b), то график функции f(x) на этом интервале имеет выпуклость вверх.
Если F’’ (x)>0, то F(x) – выпуклость вниз на (а,в)
Определение:
Если проходя через точку 
F’’(x) меняет знак С “+” на “-“ или наоборот, т - точка перегиба
Пример:
Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции y= 
Решение:
1. Найдем у’’
Y’ = ( 
Y’’ = (5 
2. Найдем точки в которых F’’(x)=0
20 
X=0
3. Найдем знаки F’’(x) на промежутках и определим интервалы выпуклости и точки перегиба
X=0 – точка перегиба
x 
x 
Понятие первообразной, понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.