Индивидуальные задания
Лабораторная работа №1
Погрешности измерений
Срок сдачи – 23 – 25 января 2012 года.
Максимальная оценка – 100 баллов.
Цель работы: Сформировать навыки определения различного рода погрешностей измерений, а также отбраковки результатов, содержащих грубые ошибки. Научиться рационально вести вычисление при численном решении задач, оценивать точность полученного результата.
Порядок выполнения работы:
- Познакомиться с теоретическим материалом по теме лабораторной работы (смотри список литературы на странице), а также решить задачи, предложенные преподавателем.
- В соответствии со своим вариантом выполнить индивидуальное задание «вручную».
- Выполнить расчет в Excel.
- Сравнить полученные результаты и сделать выводы.
- Заполнить отчет.
- Защитить работу.
Контрольные вопросы
1. Что такое погрешности измерений?
2. Чем отличаются истинные и надежные погрешности?
3. Каковы закономерности появления погрешностей измерений?
4. Что такое грубые ошибки?
5. Что такое систематические погрешности?
6. Что такое случайные погрешности?
7. Каковы критерии точности измерений?
8. Как определить среднюю квадратичную погрешность?
9. Что такое средняя погрешность?
10. Что такое вероятная погрешность?
11. Как средняя и вероятная погрешности связаны со средней квадратичной погрешностью?
12. Что такое предельная допустимая ошибка?
13. Как предельная допустимая ошибка связана со средней квадратичной погрешностью?
14. Как определить наличие грубых ошибок в ряде измерений одной величины?
15. Как определить среднюю квадратичную погрешность функции независимо измеренных величин?
16. Как на определение средней квадратичную погрешности функции независимо измеренных величин влияет коррелированность аргументов? среднюю квадратичную погрешность функции независимо измеренных величин
Литература
1. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. - М.: Недра, 1977. - С. 97-120.
2. Войславский Л.К. Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 1. Теория погрешности измерений: Учебно-методическое пособие (для студентов 2 курса дневной формы обучения спец. 7.070908 „Геоинформационные системы и технологии”). − Харьков: ХНАГХ, 2006. – С.: 7-14, 16-19.
3. Зазуляк П.М., Гаврик В.І., Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань. – Львів: Видавництво „Растр-7”, 2007. –. С. 239-260.
Примеры решения некоторых задач
Задача 1
Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине одинарную среднеквадратическую ошибку измерений (обозначается 
или m).
Решение:
Дано: n=100 и 
.
Найти: 
и наиболее возможное число ошибок Δ.
Алгоритм решения задания:
1.Находим значение интеграла вероятности Ф(t) при заданном предельном значении 
, равном одинарной с.к.о. измерения, т.е. m.
Для этого необходимо вычислить значение центрированной, нормированной случайной величины t для данного предельного значения.
= Ф(t),где 
.
Подставляем в числитель предельное значение , равное m и получаем 
=1.
Теперь по заданному значению центрированной нормированной случайной величины t можно определить соответствующее значение Ф(t) по таблице из Приложения 1.
Для t=1 интеграл вероятности Ф(t)=0,683.Следовательно, вероятность попадания случайной величины по абсолютной величине в интервал, не превышающий одинарной с.к.о., равна 0,683.
2.Определяем вероятность попадания случайной величины Δ в интервал, превышающийодинарную с.к.о. измерения (m), т.е. .
Для этого необходимо вычесть из 1, т.е. =1– .
=1–0,683= 0,317
3.Найдем число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине одинарную с.к.о.
Для этого перемножим вероятность попадания случайной величины Δ в интервал, превышающий одинарную с.к.о. и количество ошибок:
Проверка:
Для контроля вычислим число ошибок Δ, не превышающих по абсолютной величине одинарную с.к.о. измерений:
Определим общее число ошибок: 
=32+68=100.
Ответ: 32 ошибки по абсолютной величине превысят одинарное значение с.к.о., если общее число ошибок равно 100.
Задача 2
Вероятность появления ошибки в пределах от –10 до 10´´ равна 0,95, т.е. 
. Вычислить с.к.о. измерений, если 
( 
- математическое ожидание – это центр группирования случайных величин - ошибок).
Решение:
Дано: 
, при этом и .
Найти: m.
Алгоритм решения задания:
1.Так как 
, то по таблице функции Ф(t) обратным интерполированием находим t=1,96.
2.Определяем с.к.о..
Так как 
, то 
.
Примечание: математическое ожидание случайных ошибок равно нулю 
только в случае отсутствия систематических ошибок θ в измерениях. В противном случае математическое ожидание сдвигается на величину систематической ошибки и 
.
Ответ: если вероятность появления ошибки в пределах от –10 до 10´´ равна 0,95, то с.к.о. измерений составляет 5,1”.
Задача 3
Найти вероятность того, что ошибка Δ не превзойдет предел, равный а)2θ и б) 2ρ.
Решение:
Дано: а) 
и б) 
.
Найти: а) 
и б) 
.
Алгоритм решения задания:
Для решения задачи необходимо воспользоваться формулами связи средней квадратичной ошибки m и вероятной (срединной) ошибки ρ:
и связи средней квадратичной ошибки m и средней абсолютной ошибки θ:
.
Найдем соответствующие значения интеграла вероятности Ф(t) по таблице в Приложение 1.
а) 
, 
, следовательно, 
.
б) 
, 
, следовательно, 
.
Ответ: а) вероятность того, что ошибка Δ не превзойдет предел, равный 2θ, составляет 0,890; б) вероятность того, что ошибка Δ не превзойдет предел, равный 2ρ, составляет 0,820.
Индивидуальные задания
Задание №1
Линия, истинное значение которой известно, измерена 12 раз. Определить истинные значения погрешностей, среднюю еквадратичную погрешность, среднюю, вероятную и предельную погрешности. Сделать выводы о наличии грубых ошибок.
| Вариант | |||||||||||
| Истиное значение | 101,0 | 288,7 | 96,8 | 157,5 | 36,6 | 19,6 | 9,1 | 154,3 | 233,7 | 170,2 | |
| Результаты измерений | 100,8 | 294,4 | 97,1 | 157,3 | 32,5 | 18,0 | 10,0 | 154,6 | 230,0 | 169,7 | |
| 101,1 | 293,4 | 95,6 | 157,8 | 36,1 | 19,6 | 10,0 | 154,4 | 233,5 | 168,2 | ||
| 101,0 | 292,8 | 95,3 | 157,7 | 34,0 | 17,6 | 11,0 | 154,3 | 228,5 | 171,2 | ||
| 101,2 | 282,5 | 97,5 | 157,3 | 36,1 | 19,6 | 10,5 | 154,3 | 234,9 | 170,1 | ||
| 101,2 | 291,9 | 97,8 | 157,8 | 36,3 | 22,1 | 7,7 | 154,5 | 231,6 | 168,6 | ||
| 101,4 | 289,2 | 96,8 | 157,3 | 40,5 | 19,6 | 9,4 | 154,4 | 237,5 | 171,7 | ||
| 101,1 | 281,1 | 96,2 | 157,6 | 35,8 | 19,8 | 8,6 | 154,5 | 231,7 | 168,1 | ||
| 101,0 | 287,5 | 96,5 | 156,5 | 36,3 | 20,8 | 8,7 | 154,4 | 228,5 | 171,5 | ||
| 101,4 | 291,6 | 100,0 | 157,6 | 34,5 | 19,5 | 10,8 | 154,5 | 234,0 | 172,0 | ||
| 101,4 | 294,9 | 98,6 | 157,7 | 37,3 | 19,7 | 9,0 | 154,3 | 234,8 | 171,1 | ||
| 101,3 | 281,5 | 97,9 | 157,4 | 38,1 | 19,4 | 8,3 | 154,4 | 234,1 | 171,1 | ||
| 100,2 | 290,4 | 96,8 | 157,5 | 37,4 | 20,3 | 7,6 | 154,4 | 228,1 | 171,7 |
| Вариант | |||||||||||
| Истинное значение | 258,5 | 61,8 | 95,8 | 293,2 | 60,5 | 178,3 | 85,4 | 200,4 | 94,4 | 39,1 | |
| Результаты измерений | 259,3 | 64,2 | 95,5 | 293,2 | 60,6 | 185,3 | 86,0 | 200,6 | 97,3 | 38,1 | |
| 258,7 | 57,3 | 96,0 | 294,2 | 60,5 | 183,6 | 82,8 | 200,3 | 95,6 | 40,9 | ||
| 258,5 | 60,5 | 95,9 | 292,7 | 60,7 | 173,8 | 86,3 | 200,7 | 93,2 | 40,2 | ||
| 257,0 | 64,6 | 95,6 | 291,5 | 60,8 | 180,9 | 85,1 | 200,6 | 97,4 | 35,0 | ||
| 258,8 | 65,8 | 95,5 | 289,5 | 60,4 | 177,4 | 90,0 | 200,5 | 97,8 | 37,6 | ||
| 258,6 | 60,2 | 95,9 | 292,7 | 60,3 | 183,0 | 87,4 | 200,3 | 95,9 | 38,8 | ||
| 256,8 | 62,7 | 95,8 | 290,4 | 60,3 | 171,0 | 86,0 | 200,4 | 95,4 | 38,3 | ||
| 258,3 | 60,5 | 95,7 | 289,2 | 60,3 | 182,4 | 85,5 | 200,4 | 91,8 | 38,0 | ||
| 259,1 | 63,6 | 95,8 | 287,8 | 60,5 | 177,7 | 82,7 | 200,4 | 90,2 | 38,6 | ||
| 259,8 | 56,0 | 95,6 | 292,1 | 60,6 | 179,4 | 91,4 | 200,3 | 92,6 | 37,8 | ||
| 259,2 | 65,9 | 95,8 | 297,6 | 60,4 | 182,4 | 87,7 | 200,3 | 95,4 | 37,1 | ||
| 258,6 | 59,6 | 95,7 | 289,8 | 60,2 | 180,3 | 87,7 | 200,3 | 96,1 | 36,6 |
| Вариант | |||||||||||
| Истинное значение | 148,3 | 10,9 | 58,3 | 229,3 | 125,2 | 16,2 | 204,8 | 86,7 | 94,9 | 63,4 | |
| Результаты измерений | 149,1 | 11,1 | 58,0 | 225,4 | 125,4 | 14,5 | 204,8 | 86,7 | 97,2 | 64,4 | |
| 150,0 | 9,3 | 58,4 | 229,8 | 125,0 | 11,7 | 204,6 | 75,5 | 96,2 | 63,4 | ||
| 149,1 | 5,6 | 58,0 | 227,2 | 125,1 | 13,1 | 204,9 | 86,6 | 95,9 | 59,4 | ||
| 148,2 | 8,3 | 58,4 | 230,2 | 125,0 | 17,5 | 204,4 | 81,6 | 94,7 | 64,0 | ||
| 147,7 | 11,6 | 58,0 | 229,3 | 125,0 | 13,2 | 204,7 | 83,6 | 93,7 | 56,9 | ||
| 148,7 | 12,5 | 58,5 | 230,4 | 125,0 | 16,5 | 204,6 | 84,9 | 95,3 | 75,4 | ||
| 146,4 | 13,1 | 57,1 | 224,5 | 124,9 | 17,2 | 204,9 | 89,2 | 94,4 | 60,9 | ||
| 150,4 | 12,0 | 58,1 | 233,6 | 124,8 | 22,4 | 204,7 | 80,8 | 94,4 | 63,6 | ||
| 146,7 | 10,0 | 58,1 | 235,3 | 125,1 | 16,4 | 204,7 | 81,8 | 94,9 | 62,7 | ||
| 149,0 | 12,9 | 57,8 | 230,1 | 124,8 | 12,6 | 204,8 | 89,8 | 93,5 | 62,2 | ||
| 147,3 | 10,9 | 58,2 | 232,7 | 125,3 | 14,1 | 204,7 | 88,0 | 95,0 | 64,2 | ||
| 148,0 | 10,8 | 58,6 | 229,8 | 125,1 | 12,9 | 205,1 | 84,3 | 92,8 | 69,4 |
Задание №2
| Вариант | Задание |
| Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=1000, превышающих по абсолютной величине одинарную среднеквадратическую ошибку m измерений. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 1,25m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 100. | |
| Найти вероятность того, что ошибка Δ не превзойдет предел, равный 3θ. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 1,50m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 100. | |
| Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине удвоенную среднеквадратическую ошибку 2m измерений. | |
| Известна вероятная ошибка на 1 км нивелирного хода ρ=2,0 мм. Определить вероятность того, что средняя ошибка на 1 км при нивелировании в таких же условиях окажется не более 4,0 мм. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 1,75m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 100. | |
| Вероятность того, что ошибка по абсолютной величине превзойдет 4,0´´, равна 0,823. Вычислить вероятную и среднюю ошибки. | |
| Найти вероятность того, что ошибка Δ не превзойдет предел, равный 3ρ. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 2,0m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 1000. | |
| Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=1000, превышающих по абсолютной величине утроенную с.к.о. измерений, т.е. 3σ. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 2,25m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 1000. | |
В каких пределах (–x;+x) можно с вероятностью 0,495 ожидать появления ошибки Δ, т.е.  , если m=15 и ? | |
| Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине двойную вероятную ошибку измерений, т.е. 2ρ. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 2,50m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 1000. | |
| При некоторых условиях инструмент обеспечивает измерения с точностью m=10´´. Найти вероятность того, что при измерениях этим инструментом в тех же условиях ошибка по абсолютной величине не превзойдет 6,0´´. | |
| Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине тройную вероятную ошибку измерений, т.е. 3ρ. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 2,75m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 1000. | |
| При некоторых условиях инструмент обеспечивает измерения с точностью m=5´´. Найти вероятность того, что при измерениях этим инструментом в тех же условиях ошибка по абсолютной величине не превзойдет 2,0´´. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 3,00m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 1000. | |
| Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине 2,5m. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 3,25m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 1000. | |
В каких пределах (–x;+x) можно с вероятностью 0,670 ожидать появления ошибки Δ, т.е.  , если m=15 и ? | |
| Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине одинарную вероятную ошибку измерений, т.е. ρ. | |
| Вероятность того, что ошибка по абсолютной величине превзойдет 2,0´´, равна 0,823. Вычислить вероятную и среднюю ошибки. | |
| Найти вероятность того, что ошибка Δ не превзойдет предел, равный 2,5ρ. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 2,5m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 500. | |
| Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=500, превышающих по абсолютной величине утроенную с.к.о. измерений, т.е. 3σ. | |
| Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ не превзойдет по абсолютной величине 2,5m. Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 500. | |
В каких пределах (–x;+x) можно с вероятностью 0,560 ожидать появления ошибки Δ, т.е.  , если m=12 и ? |
Задача №3
Варианты 1-10
В треугольнике измерены углы α и β со средними квадратичными ошибками mα и mβ. Найти mγ третьего угла γ, вычисленного по углам α и β.
| Вариант | ||||||||||
| mα,” | ||||||||||
| mβ, ” |
Варианты 11-20
Линия состоит из нескольких отрезков, длины и средние квадратичные ошибки которых приведены в таблице. Вычислить абсолютную и относительную средние квадратичные ошибки всей линии.
| Вариант 11 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м | Вариант 16 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м |
| 103.74 129.67 145.81 94.65 138.52 | 0.044 0.062 0.071 0.053 0.105 | 93.73 119.66 135.80 84.64 128.51 | 0.054 0.072 0.081 0.063 0.115 | ||||
| Вариант 12 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м | Вариант 17 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м |
| 111.74 137.67 153.81 102.65 | 0.054 0.072 0.081 0.063 | 103.74 145.81 94.65 138.52 | 0.064 0.076 0.061 0.115 | ||||
| Вариант 13 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м | Вариант 18 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м |
| 123.70 149.63 165.77 114.61 158.48 | 0.054 0.072 0.081 0.063 0.115 | 103.74 129.67 145.81 94.65 138.52 | 0.054 0.072 0.081 0.063 0.115 | ||||
| Вариант 14 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м | Вариант 19 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м |
| 103.74 129.67 145.81 138.52 | 0.054 0.072 0.081 0.115 | 119.67 135.81 84.65 128.52 | 0.062 0.071 0.053 0.105 | ||||
| Вариант 15 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м | Вариант 20 | № отрезка | Длины Si, м | mi, м |
| 103.74 129.67 145.81 94.65 138.52 | 0.045 0.063 0.072 0.054 0.106 | 103.74 129.67 145.81 94.65 138.52 | 0.050 0.068 0.077 0.059 0.111 |
Варианты 21-30
Участок имеет форму прямоугольника, стороны которого a и b измерены со средними квадратичными ошибками 
и 
. Вычислить среднюю квадратичную ошибку площади участка.
| Вариант | ||||||||||
| a, м | ||||||||||
| b, м | ||||||||||
| mα,см | 1,0 | 1,6 | 1,6 | 1,1 | 0,7 | 0,5 | 1,1 | 0,9 | 1,2 | 0,9 |
| mβ, см | 1,5 | 1,0 | 1,2 | 1,9 | 0,9 | 0,8 | 1,6 | 1,4 | 2,0 | 0,6 |
Приложение 1
Таблица значений интеграла вероятностей
, 
, 
– заданные пределы измерений аргумента 
.
| t | Ф(t) | t | Ф(t) | t | Ф(t) | t | Ф(t) |
| 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 | 0,000 0,080 0,159 0,236 0,311 0,383 0,451 0,516 0,576 0,632 0,683 | 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 | 0,683 0,729 0,770 0,806 0,838 0,866 0,890 0,911 0,928 0,913 0,955 | 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 | 0,955 0,964 0,972 0,979 0,984 0,988 0,991 0,933 0,995 0,996 0,997 | 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 | 0,997 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 |