Понятие непрерывности функции в точке

3.1. Три определения непрерывной в точке x₀

Функции

Определение 1.Функция называется непрерывной в точке x₀ , если

1) функция y = f(x) определена в самой точке x₀ и в некоторой ее окрестности;

2) .

Заметим, что не всегда совпадает со значением функции y = f(x) в точке x₀ (даже в тех случаях, когда этот предел существует). Функции, для которых (непрерывные функции), – это наиболее используемые как в самой математике, так и в ее приложениях функции.

В основе понятия непрерывности лежит понятие предела функции. Используя определение предела «на языке ε – δ», можно дать «на языке ε – δ» и определение непрерывной функции.

Определение 2. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в точке x₀ и в некоторой

ее окрестности и для такое, что

Если ввести обозначения x – x₀ = ∆x, f(x) – f(x₀) = ∆y,то можно дать еще одно определение непрерывной в точке x₀ функции, равносильное двум данным определениям.

Определение 3.Функция y = f(x) непрерывна в точке x₀, если бесконечно малому приращению ее аргумента в точке x₀ будет соответствовать бесконечно малое приращение функции, то есть если .

Геометрическая иллюстрация поведения

Функции в случаях

1) 2)

y = f(x) непрерывна в График функции y = f(x) точке x0. терпит в точке x0разрыв.

3.3. В каком случае функция y = f(x) называется

непрерывной на замкнутом промежутке [a , b]?

Функция должна быть непрерывна в каждой внутренней точке промежутка [a, b], при этом в граничных точках промежутка должна иметь место так называемая односторонняя непрерывность:

, .

В каком случае будут непрерывны функции

?

Сумма, произведение и частное двух функций будут непрерывными в точке x₀ функциями, если каждая из функций f(x) и g(x) будет непрерывна в точке x₀, причем в случае функции должно быть выполнено условие: .

Это утверждение следует из определения 1 непрерывной в точке функции и теореме о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

Что можно сказать о непрерывности простейших

Элементарных функций?

Каждая из простейших элементарных функций непрерывна в каждой точке своей области определения. Непрерывность каждой элементарной функции доказывается отдельно. Мы сделаем это, когда перейдем к решению задач.

Перечислить условия, при которых сложная

функция y = f(g(x)) будет непрерывна в точкеx₀

1. Функция y = f(g(x)) должна быть определена в точке x₀

и в некоторой ее окрестности.

2. Функция g(x) должна быть непрерывна в точке x₀ .

3. Функция y = f(z) должна быть непрерывна в точке z₀ , причем z₀= g(x₀).