Понятие непрерывности функции.

Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий математического анализа.

Определение.Функция у=f(x), определённая на интервале (а;b), называется непрерывной в точкех0(а;b), если Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x) = f(x0).

Определение.Пусть х0, х0Î(а;b). Разность ∆х = х − х0 называется приращением аргумента в точкех0, а разность ∆у =f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0) ─ приращением функции в точке х0.

Теорема 1.Функция у = f(x) непрерывна в точке х0Î(а;b) тогда и только тогда, когда Понятие непрерывности функции. - student2.ru ∆у = 0.

Доказательство.1) Пусть функция у = f(x) непрерывна в точке х0Î(а;b). Это означает, что Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x) = f(x0). Положим х = х0 + ∆х. Получим

Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x0 + ∆x) = f(x0),

откуда

Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x0 + ∆x) − Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x0) = 0,

Понятие непрерывности функции. - student2.ru ((x0 + ∆x) − f(x0)) = 0,

т.е.

Понятие непрерывности функции. - student2.ru ∆у = 0.

2) Пусть теперь Понятие непрерывности функции. - student2.ru ∆у = 0. Тогда Понятие непрерывности функции. - student2.ru ((x0 + ∆x) − f(x0)) = 0, откуда Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x0 + ∆x) − − Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x0) = 0, Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x0 + ∆x) = f(x0). Это означает, что функция у = f(x) непрерывна в точке х0.

Теорема 2.Если функции f(x) и φ(х) непрерывны в точке х0, то непрерывны в это точке их сумма f(x) + φ(x), разность f(x) − φ(x), произведение f(x)×φ(x), а также частное f(x)/φ(x) при условии, что φ(х0) ≠ 0.

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из определения непрерывности и свойств пределов функций.

Например, непрерывными являются многие элементарные функции:

1) целая рациональная функция Pn(x) = Понятие непрерывности функции. - student2.ru непрерывна при всех хÎR;

2) дробно-рациональная функция

R(x) = Понятие непрерывности функции. - student2.ru

непрерывна при всех х, для которых знаменатель не обращается в нуль;

3) тригонометрические функции у = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx непрерывны во всех точках области определения.

Теорема 3. Пусть функция z = φ(x) непрерывна в точке х0, а функция у = f(z) непрерывна в точке z0 = φ(x0). Тогда сложная функция у = f(φ(x)) непрерывна в точке х0.

Эта теорема позволяет сделать вывод о непрерывности функций, которые являются композициями непрерывных функций.

Определение.Функция называется непрерывной на интеграле, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Если функция определена при х= Понятие непрерывности функции. - student2.ru и при этом Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x) = f( Понятие непрерывности функции. - student2.ru ), то говорят, что f(x) в точке Понятие непрерывности функции. - student2.ru непрерывна справа.Аналогично, если Понятие непрерывности функции. - student2.ru f(x) =f( Понятие непрерывности функции. - student2.ru ), то говорят, что f(x) в точке Понятие непрерывности функции. - student2.ru непрерывна слева.Функция называется непрерывной на[ Понятие непрерывности функции. - student2.ru ],если она непрерывна в каждой его точке (в точке Понятие непрерывности функции. - student2.ru ─ непрерывна справа, в точке Понятие непрерывности функции. - student2.ru ─ непрерывна слева).

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств, которые выражаются следующими теоремами.

Теорема 4. (первая теорема Больцано-Коши).

Пусть функция f(x) непрерывна на [ Понятие непрерывности функции. - student2.ru ] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка Понятие непрерывности функции. - student2.ru Î[ Понятие непрерывности функции. - student2.ru ], в которой f( Понятие непрерывности функции. - student2.ru ) = 0.

Теорема 5.(вторая теорема Больцано-Коши).

Пусть функция f(x) непрерывна на [ Понятие непрерывности функции. - student2.ru ], причём f( Понятие непрерывности функции. - student2.ru )=A, f( Понятие непрерывности функции. - student2.ru )=B. Пусть С ─ любое число, заключённое между А и В. Тогда на отрезке [ Понятие непрерывности функции. - student2.ru ] найдётся точка Понятие непрерывности функции. - student2.ru такая, что f( Понятие непрерывности функции. - student2.ru ) = C.

Теорема 6. (первая теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x) определена и непрерывна на [ Понятие непрерывности функции. - student2.ru ], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 7.(вторая теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x) непрерывна на [ Понятие непрерывности функции. - student2.ru ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения, т.е. существуют такие точки х1, х2Î[ Понятие непрерывности функции. - student2.ru ], что для всех хÎ[ Понятие непрерывности функции. - student2.ru ] f(x1) £ f(x) £ f (x2).

Наши рекомендации