Дискретное и произвольное пространство элементарных событий
Раздел 9. Элементы теории вероятности
1. Дискретное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности
Определение. Событиемназывается всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.
Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.
Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты - выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).
Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.
Определение. Достоверным событиемназывается событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.
Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.
Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.
В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.
Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий:
.
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.
Вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей:
.
Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.
Решение. Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С. Тогда в соответствии с записанными выше формулами получаем:
Вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.
Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.
Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:
.
Очевидно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью.
При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.
Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).
Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению 
.