Введение новой переменной

Во многих случаях, чтобы найти , имеет смысл сделать замену , при этом если то .

Пример 1.Найти

Решение.Введем новую переменную или Очевидно, при переменная

Тогда

Использованы формулы приведения и первый замечательный предел.

Пример 2.Найти

Решение.Введем новую переменную

При переменная

Тогда

3. Раскрытие неопределенностей вида

При нахождении , где P_n(x) и Q_m(x) – многочлены, используется метод деления числителя и знаменателя на x^k , где k – наибольшее из чисел m и n. Аналогичный прием используется и при нахождении пределов иррациональных неопределенностей вида .

Пример 1.

Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на x³. Тогда

так как – бесконечно малые величины при .

Пример 2.

Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на x⁵. Тогда

Пример 3.

Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на x³. Тогда

Сравнивая полученные в примерах 1–3 результаты, можно сделать вывод:

(a_n и b_n – коэффициенты при xⁿ многочленов P_n(x) и Q_n(x) соответственно).

Этот вывод позволяет в простейших случаях находить без каких-либо преобразований.

Например,

Перейдем к решению более сложных примеров.

Пример 4.

Решение.Разделим числитель и знаменатель дроби на :

Заметим, что в этом примере наивысшие степени переменной в числителе и знаменателе равны (и там, и там это ), поэтому ответ оказался равным отношению коэффициентов при .

Пример 5.

Решение.Напомним, что Разделим почленно числитель на знаменатель:

4. Раскрытие неопределенностей вида

и

Каждую из неопределенностей и стараются свести к неопределенностям и . Далее используют соответствующий способ раскрытия неопределенного выражения полученного вида.

Пример 1.Найти

Решение.Вынесемзнак минуса из знаменателей за общую скобку и приведем разность к общему знаменателю

Пример 2.Найти

Решение.

Осталось воспользоваться первым замечательным пределом

Пример 3.Найти

Решение.Умножим и поделим заданное выражение на сумму Тогда

Пример 4.Найти

Решение.

Использован первый замечательный предел:

( при ).

Пример 5.Найти

Решение.Воспользуемся тем, что

Тогда

Использованы непрерывность логарифмической функции и первый замечательный предел.

5. Раскрытие неопределенностей вида

Неопределенности вида раскрываются с помощью второго замечательного предела, который можно записывать двумя способами:

(3) или . (4)

Напомним, что второй замечательный предел получен на основании равенства

,

полученного в теории последовательностей.

Особенность пределов (3) и (4) состоит в том, что в основании степени и в (3), и в (4) к числу 1 прибавляется бесконечно малая величина, а в показателе степени стоит бесконечно большая величина, в точности обратная той, которая прибавляется к 1. В результате имеет место неопределенное выражение . Это наблюдение позволяет записать (3) и (4) в виде , где α(x) → 0 при x → x₀ . (5)

Запись (5) позволяет формально достаточно просто использовать второй замечательный предел при раскрытии неопределенностей вида .

Перейдем к вычислению пределов.

Пример 1.

так как .

Пример 2.

так как.

Использованный при решении примеров прием очень прост: показатель степени умножают и делят на одно и то же выражение, играющее в примере роль α(x). В первом примере во втором .

Пример 3.

.

Использованы непрерывность степенно-показательной функции и второй и первый замечательные пределы.

Пример 4.

так как

Пример 5. .

Найдем

Это означает, что имеет место неопределенность (1^∞), и мы имеем право использовать второй замечательный предел:

Пример 6. .

В этом примере, в отличие от всех предыдущих, Это означает, что второй замечательный предел применять нельзя, тем более, что заданное выражение никакой неопределенности при x → ∞ не представляет:

Примеры 7–10 решены с помощью следствий второго замечательного предела:

1. . 2. .

3. . 4. .

Заметим, что следствие 2 является частным случаем следствия 1, а следствие 4 – частным случаем следствия 3.

Все следствия легко доказываются. Докажем, например, следствие 1:

Использованы непрерывность логарифмической функции и второй замечательный предел.

Следствия 1–4 позволяют раскрывать неопределенные выражения вида , содержащие логарифмическую и показательную функции.

Пример 7.

Использовали следствие 2.

Пример 8.

так как

(следствие 3), а

Пример 9.

.

Пример 10. ,

здесь по следствию 4, роль бесконечно малого аргумента играет разность (x – 1) при x → 1. Можно было сделать замену x – 1 = t .

Тогда