Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть метода поясним на примере.

П р и м е р: Решить уравнение Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru .

Р е ш е н и е. Положим Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru , получим уравнение Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru , откуда находим Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru . Задача сводится к решению совокупности уравнений

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru Û Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так его дискриминант отрицателен. Из второго находим Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru . Это корни заданного уравнения.

Биквадратным называется уравнение вида Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru , где а ¹ 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru , придем к квадратному уравнению Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru .

Иррациональные уравнения.

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Одним из методов решения таких уравнений является метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

А) преобразуем заданное иррациональное уравнение к виду:

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ;

Б) возводим обе части полученного уравнения в n - ую степень:

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ;

В) учитывая, что Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru , получаем уравнение

f(x) = g(x);

Г) решаем уравнение и делаем проверку, так как возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней. Эта проверка осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример . Решить уравнение Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x2 - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x1 = -2 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru - истинно:
При x2 = -2 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru - истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример . Решить уравнение Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x - 9 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 0;

x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 9;

б) 1 - x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 0;

-x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru -1 ;

x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 1.

ОДЗ данного уранения: x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru .

Ответ: корней нет.

Виды неравенств

Пример:Решить неравенство Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение.

Частное двух чисел положительно в том случае, когда и делимое, и делитель положительны, или они отрицательны. Опираясь на это утверждение составим совокупность двух систем неравенств.

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Сначала решим систему неравенств

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Первая система равносильна неравенству х > 1.

Теперь, решаем систему неравенств:

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Вторая система равносильна неравенству x < -1.

Ответ: x >1 и x < -1.

Пример:Решить неравенство Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (1). .

Решение. Вычтем из обеих частей неравенства функцию Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru получим неравенство 3х > 9.

Разделим обе части полученного неравенства на положительное число 3 в результате получим x > 3 (2). Выполнив это преобразование, мы заменили неравенство (1) неравенством (2). Эти неравенства не равносильны.(1) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (2).

M = (- Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ; 8) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (8; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru )- ОДЗ неравенства (1).

B = (3; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ) - это решение неравенства (2).

Найдем множество решений неравенства (1)

A = B Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru M =((- Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ; 8) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (8; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (3; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ) = (3; 8) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (8; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ),

Ответ: x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (3; 8) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (8; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ).

Метод интервалов

Пример :Решить неравенство. Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение.

ОДЗ: Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru откуда имеем x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru [-1; 5) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (5; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru )

Решим уравнение Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения. Отметим найденный корень на чертеже (черным кружком, т.к. неравенство нестрогое), предварительно отметив ОДЗ:

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Чтобы определить знак на промежутке (-1; 5) возьмем число 0, Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru Чтобы определить знак на втором промежутке возьмем число 8, Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Точки 0 и 8 выбирались произвольно, но так, чтобы упростить процесс вычисления каждого значения функции.

Ответ: (-5; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ).

Пример:Решить неравенство Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение.

Используя свойство частного и определение квадратного корня делаем вывод, что Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru откуда Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ОДЗ: x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (0; 1) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (1; 7) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (7; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru )

Решим уравнение

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

x = 1.

На промежутке (0;1) возьмем точку 0,5;

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

На промежутке (1; 7) возьмем точку 4,

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

На промежутке (7; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ) возьмем точку 9,

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Расставим знаки на координатной прямой.

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Таким образом, решением данного неравенства является множество чисел принадлежащих промежутку (0; 1) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (1; 7)

Пример:Решить неравенство (2x - 6)(3x + 12)(5x + 1)<0.

Решение.

Нули функции: - 4; - 0,2; 3.

Функция в левой части неравенства представляет собой произведение не повторяющихся множителей, значит знаки этой функции чередуются cправа на лево с "+" на "-" ....

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Решение данного неравенства x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (- Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ; -4) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (-0,2; 3).

Пример:Решить неравенство Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 7 - x.Введем вспогательную переменную. Пусть t = Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru , где t Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 0, (из определения квадратного корня)
тогда t2 = x + 5; откуда x = t2 - 5 и имеем неравенство t Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 7 - t2 + 5;

t2 + t - 12 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 0;

ОДЗ: t Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru R.

t2 + t - 12 = 0;

t1 = -4; t2 = 3.

f(t) = t2 + t - 12; эта функция непрерывна на всей области определения. Формулу, задающую функцию, удобнее записать так f(x) = (x - 3)(x + 4).

f(4) =4 2 + 4 - 12 = 8 >0;

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Таким образом, функция f(t) = t2 + t - 12 принимает значения небольшие 0, если -4 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru t Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 3. Так как t Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 0, то 0 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru t Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 4. Осуществим обратный переход к переменной x, тогда

0 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 3. Так как все части неравенства неотрицательны, то возведем их в квадрат 0 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru x + 5 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 9, откуда -5 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 4 и, следовательно,

x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru [-5; 3].

Ответ: x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru [-5; 3].

Пример:Решить неравенство 2x2 - 8x + 6 > Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru .

Решение.

В левой части неравества вынесем 2 за скобки 3(x2 - 4x + 3) > Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru и введем вспомогательную переменную.

Пусть t = Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru , тогда t > 0 и 2t2 > t; 2t2 - t > 0; t(2t -1) > 0.

В левой части неравенства задана квадратная функция, в которой старший коэффициент равен 1, а нули 0 и 0,5. Из свойств этой функции следует:

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Таким образом неравенство 2t2 > t равносильно неравенству t > 0,5.

Выполняем обратную замену переменных.

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru > 0,5, где x < 1 или x > 3.

x2 - 4x + 3 > 0,25;

4x2 - 16x + 11 > 0;

D/4 = 64 - 44 = 20, D > 0.

x1 = Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru , x2 = Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Нетрудно установить, что 0,5 < Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru < 1 и 3 < Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru < 3,5.

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru

Таким образом решением исходного неравенства является следующее множество x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (- Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ; Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ( Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ).

Ответ: (- Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ; Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ( Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ).

Пример:Решить неравенство 2sin2x - 3sinx - 2 < 0.

Решение.

Пусть sinx = t, где t Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru [-1; 1] (1), тогда получим квадратное неравенство
2t2 - 3t - 2 < 0.

Для его решения будем использовать свойства квадратной функции.

1) Её старший коэффициент равен 2.

2) D = 32 - 4 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru 2(-2) = 9 + 16 = 25, следовательно, D > 0.

3) t1 = -0,5; t2 = 2, поэтому решением неравенства является множество чисел
t Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (- Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ; - 0,5) Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (2; + Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ) (2).

Пересечение множеств (1) и (2) есть множество [-1; -0,5).

Произведем обратный переход к переменной х, получим неравенство.

-1 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru sinx < -0,5. Для решения этого двойного неравенства воспользуемся свойствами функции y = sinx.

Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru <="" p="">

x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (- Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru + 2 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru k; - Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru + 2 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru k), где k Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru Z.

Ответ: x Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru (- Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru + 2 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru k; - Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru + 2 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru k), где k Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru Z.

Пример:Решить неравенство 3 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru > lg( Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru ) + 2.

Решение.

Так как -х > 0 при x < 0 и Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru = |x|, где |x| = -x при указанных выще условиях, то заданное неравенство, при x < 0, можно заменить равносильным ему неравенством 3 Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru > lg(-x) + 2. Пусть t = Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru , получим квадратное неравенство t2 - 3t + 4 < 0.

1) Старший коээфициент квадратного трехчлена положителен.

2) Корни квадратного трехчлена: t1 = 1, t2 = 2.

3) Квадратный тречлен принимает отрицательные значения при 1 < t < 2.

Получаем неравенство 1 < Решение уравнений методом введения новой переменной - student2.ru < 2. Все три части неравенства положительны, возведем их в квадрат.

1 < lg(-x) < 4;

-1000 < x < -10.

Ответ: (-10000; -10).

Наши рекомендации