Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин

При разработке месторождений добывающие скважины бурят не произвольно, а в определённом порядке. Обычно скважины располагают рядами, кольцевыми батареями или более сложным образом. Ознакомимся с широко применяемым при проектировании разработки нефтяных месторождений методом эквивалентных фильтрационных сопротивлений, предложенным Ю. П. Борисовым и основанным на аналогии движения жидкости в пористой среде с течением электрического тока в проводниках. Рассмотрим без вывода задачу о притоке жидкости к одиночной скважине, расположенной между двумя непроницаемыми границами, расстояние между которым 2s, и на расстоянии L от прямолинейного контура питания. Пусть на контуре питания задано постоянное давление p_k, на забое скважин – давление p_c, (рисунок 4.7).

Требуется определить дебит скважины.

Рисунок 4.7 – Обоснование метода фильтрационных сопротивлений Ю. П. Борисова

Заменим исходный фильтрационный поток на два более простых потока. У прямолинейного контура питания движение близко к плоскопараллельному. Среднее давление на уровне скважины между непроницаемыми границами p₁. Тогда дебит в таком фильтрационном потоке определяется по формуле притока к галере:

.

(4.20)

Величина r называется внешним фильтрационным сопротивлением и определяется по формуле:

.

(4.21)

Второй фильтрационный поток происходит вблизи скважины, где характер движения близок к плоскорадиальному. При этом фильтрация происходит от фиктивного контура питания радиусом R₁ с давлением p₁ к скважине.

Дебит такого фильтрационного потока рассчитывается по формуле Дюпюи:

.

(4.22)

Радиус фиктивного контура питания можно найти из точного решения. Он оказался равным R₁ = s/p. Величина r¢ называется внутренним фильтрационным сопротивлением и определяется по формуле:

.

(4.23)

Таким образом, приток жидкости к такой скважин можно представить схемой эквивалентных фильтрационных сопротивлений, показанной на рисунке 4.8. Аналогом объемного расхода Q служит сила тока, а аналогом разности давлений – разность электрических потенциалов.

Дебит скважины находится по закону Ома для данной схемы:

.

(4.24)

Рисунок 4.8 – Схема притока к конечной цепочке скважин

Используя метод отражения, можно перейти от элемента фильтрационного потока к бесконечной цепочке скважин или (с некоторой ошибкой) к конечной цепочке из N скважин (рисунок 4.8).

Тогда дебит такой цепочки скважин будет равен:

.

(4.25)

Здесь r_N и r_N¢ – внешнее и внутреннее сопротивление цепочки из N скважин находятся по формулам:

(4.26)

где B ширина всей цепочки скважин.

Рисунок 4.9 – Схема притока к кольцевой батарее скважин

Рассмотрим применение метода Ю. П. Борисовым для одного элемента и всей кольцевой батареи из N скважин (рисунок 4.9). Заменим элемент кольцевой батареи скважин, который на рисунке выделен двумя непроницаемыми границами, на два более простых потока. Оба этих потока будут плоскорадиальными. Сама схема эквивалентных фильтрационных сопротивлений останется такой же, что и для элемента цепочки скважин, но формулы расчета внешнего фильтрационного сопротивления изменятся:

(4.27)

где s = π R₁/N.

Формулы расчёта для всей кольцевой батареи:

(4.28)

Примеры и задачи

Пример 4.1

Рисунок 4.10 – Применение принципа отражения

Рассчитать дебит газовой скважины, расположенной у прямолинейного контура питания и непроницаемой границы (рисунок 4.10, a), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость газа μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

h = 18 м; k = 0,15 мкм²; μ = 0,025 мПа·с; R_к = 100 м; p_к = 25 МПа; p_с = 10 МПа; a = 200 м; b = 100 м.

Решение

Используя метод отражения избавимся от прямолинейного контура питания. Для этого всю область фильтрации, включая непроницаемую границу и удаленный контур питания, зеркально отразим относительно этого контура. В отраженной области, заменим знак дебита скважин на противоположный, то есть добывающие скважины делаем нагнетательными, а нагнетательные – добывающими. После этого прямолинейный контур питания удаляем. Получим схему (рисунок 4.10, б). Чтобы не загромождать рисунок, на этой схеме не показан отраженный контур питания.

Теперь избавимся от прямолинейной непроницаемой границы. Для этого область фильтрации (всю верхнюю часть рисунка) зеркально отразим относительно непроницаемой границы. После этого непроницаемую границу удалим. Получим схему, показанную на рисунке 4.10, в. На этом рисунке пунктирными линиями показаны места расположения бывшего контура питания и непроницаемой границы. Всего получили четыре скважины (n = 4), две из которых добывающие и две нагнетательные. Пронумеруем полученные скважины. Порядок нумерации скважин может быть произвольным (по часовой стрелки, против часовой стрелки и т. д.), но желательно основную скважины считать первой. На схеме указываем дебиты скважин, полученных методом отражения. Отраженные добывающие скважины имеют такой же дебит, что и основная скважина, а отраженные нагнетательные имеют дебит со знаком (-).

Для полученных скважин запишем систему уравнений интерференции нефтяных скважин с удаленным контуром питания:

.

Всего скважин – четыре, поэтому это система четырех уравнений. Так как три из этих скважин получены методом отражения, то дебиты этих скважин связаны с дебитом основной скважины, поэтому все четыре уравнения будут тождественны друг другу. Для расчета можно использовать любое из них. Запишем первое уравнение из этой системы уравнений.

Для первого уравнения j = 1, тогда:

.

В это уравнение подставим p_c1 = p_c, Q₁ = Q, Q₂ = - Q, Q₃ = - Q, Q₄ = Q, тогда:

.

Воспользуемся свойством логарифма ln(a) + ln(b) = ln(ab) и ln(a) ‑ ln(b) = ln(a/b):

.

Найдем расстояния, которые входят в формулу. Так как r_ij – расстояние от центра i – той скважины до боковой поверхности j – той скважины, то:

Тогда дебит нефтяной скважины будет рассчитываться по формуле:

.

Для того, чтобы перейти к формулам фильтрации газа, воспользуемся аналогией между формулами фильтрации жидкости и газа. Заменим объемный расход Q на массовый расход Q_m = ρ_ат Q_ат, а давление p – на функцию Лейбензона P = ρ_ат p²/(2 p_ат).

Тогда получим формулу фильтрации газовой скважины:

Ответ: Q_ат = 196 м³/с.

На рисунке 4.11 приведены схемы расположения скважин и границ к задачам 4.1 – 4.19.

Задачи к контрольной работе

Задача 4.1

Рассчитать дебит нефтяной скважины, расположенной у двух непроницаемых границ (схема 1), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: h = 5 м; k = 0,25 мкм²; μ = 35 мПа·с; R_к = 300 м; p_к = 20 МПа; p_с = 15 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.2

Рассчитать дебит газовой скважины, расположенной у двух непроницаемых границ (схема 1), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: h = 5 м; k = 0,25 мкм²; μ = 0,015 мПа·с; R_к = 300 м; p_к = 20 МПа; p_с = 15 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.3

Рассчитать дебит нефтяной скважины, расположенной у прямолинейного контуров питания и непроницаемой границе (схема 2), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: h = 8 м; k = 0,12 мкм²; μ = 25 мПа·с; R_к = 100 м; p_к = 25 МПа; p_с = 10 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.4

Рассчитать дебит газовой скважины, расположенной у прямолинейного контуров питания и непроницаемой границе (схема 2), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: h = 11 м; k = 0,092 мкм²; μ = 0,02 мПа·с; R_к = 100 м; p_к = 25 МПа; p_с = 15 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.5

Рассчитать дебит нефтяной скважины, расположенной у прямолинейного контуров питания и непроницаемой границе (схема 3), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: h = 18 м; k = 0,15 мкм²; μ = 5 мПа·с; R_к = 100 м; p_к = 25 МПа; p_с = 10 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.6

Рассчитать дебит газовой скважины, расположенной у прямолинейного контуров питания и непроницаемой границе (схема 3), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: h = 11 м; k = 0,12 мкм²; μ = 0,02 мПа·с; R_к = 100 м; p_к = 25 МПа; p_с = 10 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.7

Рассчитать дебит газовой скважины, расположенной у двух прямолинейных контуров питания (схема 4), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: h = 8 м; k = 0,25 мкм²; μ = 0,015 мПа·с; R_к = 300 м; p_к = 15 МПа; p_с = 10 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.8

Рассчитать дебит нефтяной скважины, расположенной у двух прямолинейных контуров питания (схема 4), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: h = 8 м; k = 0,25 мкм²; μ = 15 мПа·с; R_к = 300 м; p_к = 15 МПа; p_с = 10 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.9

Рассчитать суммарный дебит двух газовой скважин, расположенных у непроницаемой границе (схема 5), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с. Дебиты скважин считать равными.

Дано: h = 4 м; k = 0,15 мкм²; μ = 0,02 мПа·с; R_к = 500 м; p_к = 20 МПа; p_с = 19 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.10

Рассчитать суммарный дебит двух нефтяных скважин, расположенных у непроницаемой границе (схема 5), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с. Дебиты скважин считать равными.

Дано: h = 4 м; k = 0,15 мкм²; μ = 4 мПа·с; R_к = 500 м; p_к = 20 МПа; p_с = 18 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.11

Рассчитать суммарный дебит двух газовой скважин, расположенных у прямолинейного контура питания (схема 6), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с. Дебиты скважин считать равными.

Дано: h = 18 м; k = 0,15 мкм²; μ = 0,025 мПа·с; R_к = 500 м; p_к = 25 МПа; p_с = 20 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.12

Рассчитать суммарный дебит двух нефтяных скважин, расположенных у прямолинейного контура питания (схема 6), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с. Дебиты скважин считать равными.

Дано: h = 18 м; k = 0,15 мкм²; μ = 45 мПа·с; R_к = 500 м; p_к = 25 МПа; p_с = 21 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.13

Рассчитать суммарный дебит двух газовой скважин, расположенных у непроницаемой границе (схема 7), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с. Дебиты скважин считать равными.

Дано: h = 4 м; k = 0,05 мкм²; μ = 0,02 мПа·с; R_к = 500 м; p_к = 20 МПа; p_с = 17 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.14

Рассчитать суммарный дебит двух нефтяных скважин, расположенных у непроницаемой границе (схема 7), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с. Дебиты скважин считать равными.

Дано: h = 4 м; k = 0,05 мкм²; μ = 14 мПа·с; R_к = 500 м; p_к = 20 МПа; p_с = 16 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.15

Рассчитать суммарный дебит двух газовой скважин, расположенных у прямолинейного контура питания (схема 8), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с. Дебиты скважин считать равными.

Дано: h = 18 м; k = 0,15 мкм²; μ = 0,025 мПа·с; R_к = 500 м; p_к = 25 МПа; p_с = 15 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.16

Рассчитать суммарный дебит двух нефтяных скважин, расположенных у прямолинейного контура питания (схема 8), если задана толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания R_к; давления на контуре питания p_к и скважине p_с. Дебиты скважин считать равными.

Дано: h = 18 м; k = 0,15 мкм²; μ = 45 мПа·с; R_к = 500 м; p_к = 25 МПа; p_с = 14 МПа; a = 300 м; b = 100 м.

Задача 4.17

Методом фильтрационных сопротивлений Борисова рассчитать дебит цепочки из N нефтяных скважин (схема 9), если длинна цепочки B; толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания L = 200 м; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: N = 20; B = 5 км; h = 15 м; k = 0,25 мкм²; μ = 40 мПа·с; p_к = 25 МПа; p_с = 13 МПа.

Задача 4.18

Методом фильтрационных сопротивлений Борисова рассчитать дебит цепочки из N газовых скважин (схема 9), если длинна цепочки B; толщина пласта h; проницаемость k; вязкость нефти μ; расстояние до контура питания L = 200 м; давления на контуре питания p_к и скважине p_с.

Дано: N = 12; B = 6 км; h = 15 м; k = 0,25 мкм²; μ = 0,014 мПа·с; p_к = 17 МПа; p_с = 13 МПа.

Задача 4.19

Определить дебит кольцевой батареи из N нефтяных скважин (схема 10) расположенных на расстоянии R₁ от центра. Расстояние до контура питания R_к; динамический коэффициент вязкости μ; давление на контуре питания p_к и давление на скважине p_с. Скважина вскрывает пласт толщиной h и проницаемостью k.

N = 8; R₁ = 2 км; R_к = 5 км; μ = 12 мПа·с; p_к = 22 МПа; p_с = 12 МПа; h = 10 м; k = 0,13 мкм².

Задача 4.20

Определить дебит кольцевой батареи из N газовой скважин (схема 10) расположенных на расстоянии R₁ от центра. Расстояние до контура питания R_к; динамический коэффициент вязкости μ; давление на контуре питания p_к и давление на скважине p_с. Скважина вскрывает пласт толщиной h и проницаемостью k.

N = 9; R₁ = 2 км; R_к = 4 км; μ = 0,017 мПа·с; p_к = 22 МПа; p_с = 12 МПа; h = 17 м; k = 0,22 мкм².

Рисунок 4.11 – Схемы расположения скважин и границ к задачам 4.1 – 4.19

Контрольные задания

Цель контрольных заданий – способствовать более глубокому изучению основных положений дисциплины и лучшему усвоению приемов использования этих положений для решения инженерных задач.

Прежде чем приступить к выполнению контрольного задания, необходимо хорошо изучить соответствующие разделы курса. Сталкиваясь с той или иной расчетной формулой, студент должен понять те закономерности, которые она отражает, проанализировать размерности входящих в нее величин и научиться применять эту формулу для расчета.

Ответы на контрольные вопросы должны быть краткими, но не в ущерб ясности и полноте изложения. Следует обращать внимание на правильность терминологии и четкость ответов, которые необходимо писать лишь после того, как проработана вся тема в целом, но отнюдь не в процессе ее изучения, так как законченный и четкий ответ можно дать только после изучения всей темы. Номера вопросов, на которые следует ответить, и номера задач, которые нужно решить, определяются по таблице 5.1 в зависимости от сочетания букв в фамилии студента. Номер первой задачи соответствует первой букве фамилии, второй задачи – второй букве и т. д. Номера вопросов определяют по шестой букве фамилии студента.

Таблица 5.1 – Данные к контрольной работе
Буквы алфавита	Номера задач	Вопросы
а	1.1	1.13	2.1	3.1	4.1	1, 13, 25, 37
б, в	1.2	1.14	2.2	3.2	4.2	2, 14, 26, 38
г, д	1.3	1.15	2.3	3.3	4.3	3, 15, 27, 39
е, ж, з, и	1.4	1.16	2.4	3.4	4.4	4, 16, 28, 40
к	1.5	1.17	2.5	3.5	4.5	5, 17, 29, 41
л	1.6	1.18	2.6	3.6	4.6	6, 18, 30, 42
м	1.7	1.19	2.7	3.7	4.7	7, 19, 31, 37
н, о	1.8	1.20	2.8	3.8	4.8	8, 20, 32, 38
п, р	1.9	1.21	2.9	3.9	4.9	9, 21, 33, 39
с	1.10	1.22	2.10	3.10	4.10	10, 22, 34, 40
т, у, ф, х	1.11	1.23	2.11	3.11	4.11	11, 23, 35, 41
ц, ч, ш, щ, ъ, ы, ь, э, ю, я	1.12	1.24	2.12	3.12	4.12	12, 24, 36, 42

Например: студент Петров должен решить задачи 1.9, 1.16, 2,11, 3.9, 4.8 и ответить на вопросы 8, 20, 32, 38. Если фамилия студента содержит меньше пяти букв, то номера последующих задач и вопросов будут соответствовать последней букве фамилии.

Вопросы к контрольной работе

Дайте определение указанной величине или поясните, что она означает. Укажите ее размерность. При необходимости поясните примерами.

1. Фильтрация.

2. Пористость.

3. Просветность.

4. Объемный расход.

5. Массовый расход.

6. Поперечное сечение.

7. Скорость фильтрации.

8. Действительная скорость.

9. Идеальный грунт.

10. Линейный закон фильтрации.

11. Галерея.

12. Скважина.

13. Водонапорный режим.

14. Газонапорный режим.

15. Режим растворенного газа.

16. Упругий водонапорный режим.

17. Гравитационный режим.

18. Коэффициент объемного сжатия жидкости.

19. Коэффициент объемного сжатия породы.

20. Начальные условия.

21. Граничные условия.

22. Депрессионная воронка.

23. Индикаторная диаграмма (для нефти).

24. Коэффициент продуктивности нефтяной скважины.

25. Как проводится исследование скважин на стационарных режимах.

26. Коэффициент гидропроводности пласта.

27. Аналогия между фильтрацией жидкости и газа.

28. Функция Лейбензона.

29. Индикаторная диаграмма (для газа).

30. Коэффициент продуктивности газовой скважины.

31. Неоднородный по толщине пласт.

32. Зонально-неоднородный пласт.

33. Совершенная скважина.

34. Скважина несовершенная по степени вскрытия.

35. Скважина несовершенная по характеру вскрытия.

36. Приведенный радиус скважины.

37. Интерференция скважин.

38. Метод суперпозиции решений.

39. Удаленный контур питания.

40. Метод отражения для прямолинейной непроницаемой границы.

41. Метод отражения для прямолинейного контура питания.

42. Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений Борисова.

Библиографический список

1. Подземная гидравлика : учеб. для студентов высш. учеб. заведений / К. С. Басниев, А. М. Власов, И. Н. Кочина, В. М. Максимов. – М. : Недра, 1986. – 303 с.

2. Подземная гидромеханика : учеб. для студентов высш. учеб. заведений / К. С. Басниев, Н. М. Дмитриев, Р. Д. Каневская, В. М. Максимов., – 2–е изд., испр. – М. : – Ижевск : Ин-т компьютер. исслед., 2006. – 488 с.

3. Евдокимова, В. А. Сборник задач по подземной гидравлике / В. А. Евдокимова, И. Н. Кочина. М. : Недра, 1979.

4. Пыхачев, Г. Б. Подземная гидравлика / Г. Б. Пыхачев, Р. Г. Исаев. М.: Недра, 1973.

Приложение

Рисунок П. 1 – График для определения коэффициента С1, учитывающего несовершенство скважин по степени вскрытия пласта

Рисунок П. 2 – График для определения безразмерного коэффициента С2, учитывающего несовершенство скважин по характеру вскрытия пласта, при ℓп/D = 0

Рисунок П. 3 – График для определения безразмерного коэффициента С2, учитывающего несовершенство скважин по характеру вскрытия пласта, при ℓп/D = 0,25

Рисунок П. 4 – График для определения безразмерного коэффициента С2, учитывающего несовершенство скважин по характеру вскрытия пласта, при ℓп/D=0,5

Рисунок П. 5 – График для определения безразмерного коэффициента С2, учитывающего несовершенство скважин по характеру вскрытия пласта, при ℓп/D = 1

Учебное издание

Пятибрат Владимир Павлович

Основы подземной гидромеханики

Учебное пособие

Редактор Л. А. Кокшарова

Технический редактор Л. П. Коровкина

План 2012 г., позиция 70. Подписано в печать 30.12.2011 г.

Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.

Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная.

Усл. п. л. 7,1. Уч.-изд. л. 6,8. Тираж 150 экз. Заказ № 260

Ухтинский государственный технический университет.

169300, г. Ухта, ул. Первомайская, д. 13.

Типография УГТУ.

169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.