Применения для раскрытия неопределенностей

Пусть и – бесконечно малые при .

Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка;

если , то и называются бесконечно малой высшего порядка по сравнению с бесконечно малой , что обозначается (читается: « равна o малому от »);

если не существует, то бесконечно малые и называются несравнимыми.

В частном случае, когда , бесконечно малые и называются эквивалентными, . Если , то бесконечно малую можно представить в виде . Для эквивалентных бесконечно малых выполняется свойство транзитивности, т.е. если , а , то .

Для более точного сравнения бесконечно малых функций и при а в том случае, когда , т.е. – бесконечно малая более высокого порядка, чем , одна из них, например , сравнивается с различными функциями вида . Если для некоторого значения k оказывается, что , то функция называется бесконечно малой k-го порядка относительно , а функция , эквивалентная функции , называется главной частью функции , .

Часто для количественной оценки малости функции функций при в качестве эталонов берутся функции при , причем k принимает любые вещественные значения. Такой набор эталонов простейшего вида образует как бы шкалу, удобную для сравнения бесконечно малых при ( ). Если , то такую шкалу образуют эталоны сравнения вида . В общем случае в качестве эталонов сравнения выбирается некоторое множество функций , определенных на некотором интервале, примыкающем к точке a, и таких, что , если .

Для эквивалентных бесконечно малых справедлива теорема: если и — бесконечно малые при и , , а , то

и ; (1)

и ; (2)

. (3)

Наличие набора эквивалентных бесконечно малых часто значительно упрощает вычисление пределов при раскрытии неопределенностей. Так, при

, (

, (

, (

, (

, (

,

, (

, (

, (

. (

Аналогичные понятия вводятся для бесконечно больших функций и при : если , то они называются бесконечно большими одного порядка; если , то функция называется бесконечно большой высшего порядка по сравнению с функцией ; если не существует, то функции и называют несравнимыми бесконечно большими.

Эквивалентные бесконечно большие определяются точно так же, как эквивалентные, как эквивалентные бесконечно малые, т.е. , если .

Если , то бесконечно большая называется бесконечно большой k-го порядка относительно бесконечно большой , а функция , эквивалентная функции , называется главной частью функции .

Простейшие примеры эквивалентных бесконечно больших получаются из рассмотрения многочлена :

при , , . (4)

Для эквивалентных бесконечно больших справедливы соотношения (1)–(3).

Применение эталонов сравнения – источник приближенных формул. Если, например, функция при имеет главную часть , где – постоянная, то . Выделяя из функции главную часть , получаем более точную формулу: . Этот процесс можно продолжить. Если в результате приходят к формуле вида

то говорят, что функция обладает разложением порядка n относительно эталонов . Пренебрегая слагаемым , получаем приближенное выражение для функции при x, достаточно близких к a.

Пример 1. Сравнить функции: 1) и x при ; 2) и при ; 3) и при .

Решение. Данные функции при бесконечно малые. Составим их отношение и высчитаем его предел при :

Следовательно, данные функции одного порядка малости.

2) При функции бесконечно малые и

следовательно, функция есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с . А так как , то есть бесконечно малая второго порядка относительно .

3) При и бесконечно большие одного порядка.

Пример 2. Сравнить функции и при .

Решение. Поскольку , то, учитывая, что (см. соотношение ), имеем .

Так как (см. соотношение ), а при , имеем .

Тогда, используя соотношение (2), получаем, что

Следовательно, данные функции одного порядка малости, более того – эквивалентны.

Пример 3. Сравнить функции и при .

Решение. Из равенства следует, что при ( при ). С другой стороны, при ; следовательно, , т.е. есть бесконечно большая порядка 3/2 относительно бесконечно большой .

Пример 4. Выделить главную часть функции при: 1) ; 2) при .

Решение. При малых x поведение функции будет определять то слагаемое, которое стоит в низшей степени. Поэтому вынесем за скобки малых x в первой степени: . Выражение в скобках при , следовательно, согласно соотношению (3) , и имеет место равенство при , где – главная часть функции , а – бесконечно малая более высокого порядка, чем .

2) Заметим, что ; следовательно, функция есть бесконечно малая в точке . В результате деления получим . Поскольку при , то и является главной частью функции при , и имеет место равенство при – бесконечно малая более высокого порядка, чем при .

Пример 5. Выделить главную часть функции при .

Решение. Используем эквивалентное соотношение , роль бесконечно малой здесь играет при :

так как при . Итак, при .

Пример 6. Выделить главную часть функции при .

Решение. Выражение, стоящее под знаком корня, стремится к единице, поэтому его можно представить в виде суммы двух слагаемых – единица плюс бесконечно малая: , тогда при , так как при . Итак, .

как при . Итак, при .

Пример 7. Выделить главную часть функции при .

Решение. Выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к единице при , поэтому его можно представить в виде суммы единицы и бесконечно малой, причем роль бесконечно малой играет . Тогда (см. соотношение )

при .

Следовательно, при .

Пример 8. Выделить главную часть функции при .

Решение. Так как выражение стоящее под знаком логарифма, стремится к единице при , то его можно представить следующим образом: , где – бесконечно малая при По формуле и соотношению (3) получим при , отсюда , где – бесконечно малая более высокого порядка, по сравнению с при , т.е. .

Пример 9. Выделить главную часть функции при .

Решение. Так как дробь при , то представим ее в следующем виде: