ТЕМА № 4. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Понятие дроби. Сложение и вычитание положительных рациональных чисел. Умножение и деление рациональных чисел. Десятичные дроби и операции над ними. Понятие процента. Бесконечные десятичные дроби. Положительные действительные числа.
Литература: [1] с. 308-330, 335-339, [2] с. 148-152, [3] с. 180-228, [4] с. 82-89, [5] с. 152-165, [6] с.142-148.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания I уровня)
1А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) 
= 
; б) 
> 
; в) 
+ 
= 
.
1Б. Верно ли, что:
а) 0,007 = 0,00 (7); б) 1,83 > 1,8; в) 1,(6) = 1 
.
2А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) 
= 
; б) 
> ; в) 
+ = 
.
2Б. Верно ли, что:
а) 0,0612 = 0,06 (12); б) 1,05 > 1,1; в) 2,1 (25) = 2 
.
3А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) = 
; б) < ; в) 1 – 
= 
.
3Б. Верно ли, что:
а) 0,09 = 0,0 (8); б) 21, (7) < 21,7; в) 2,8 (4) = 2 
.
4А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) 
= ; б) 
> 
; в) – 
= 
.
4Б. Верно ли, что:
а) 71,008 = 71,0 (08); б) 33,1 > 33, (1); в) 2, (3519) = 2 
.
5А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) 
= 
; б) 
< 
; в) 3 
– 3 = 
.
5Б. Верно ли, что:
а) 0,1375 = 0,1375 (0); б) 1,17 > 1,170; в) 8,291 (6) = 8 
.
0А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) = 
; б) < 
; в) 1 – 
= .
Решение:
а) НОК (7; 11) = 77, значит числа и можно привести к общему знаменателю 77:
= 
= 
; = 
= 
; 
> , т.е. > - истинное высказывание, значит = - ложное высказывание.
| б) | 8 | 2 | 12 | 2 | 8 = 23; 12 = 22 · 3; | |
| 4 | 2 | 6 | 2 | |||
| 2 | 2 | 3 | 3 | |||
| 1 | 1 |
НОК (8;12) = 23 · 3 = 24. Числа 8 и 12 можно привести к общему знаменателю 24:
= 
= 
; = 
= 
; 
> ; > ,
значит, < - истинно.
в) 
– = – 
= (1 – 1) + ( – 
) = 0 + = ,
т. е. – = - истинно.
0Б. Верно ли, что:
а) 3,87 (5) = 3,87 (50); б) 23,05 < 23, (05); в) 7,91 (6) = 7 
.
Решение:
а) Для проверки истинности записанного равенства переведем дроби в обыкновенные.
Чтобы смешанную периодическую дробь перевести в обыкновенную, нужно в числителе записать разность между числом, записанным цифрами, стоящими до второго периода, и числом, записанным цифрами предпериода. В знаменателе записываем число, состоящее из стольких 9, сколько цифр в периоде, и стольких 0, сколько цифр в предпериоде.
3,87 (5) = 3 + 
= 
; 3,87 (50) = 3 + 
= 
;
≠ .
Ответ: 3,87 (5) ≠ 3,87 (50).
б) Для проверки истинности неравенства переведем дроби в обыкновенные: 23,05 = 
.
Чтобы чистую периодическую дробь перевести в обыкновенную, необходимо в числителе записать число, образованное цифрами периода, а в знаменателе – столько 9, сколько цифр в периоде. 23,05 = 
Сравниваем дроби и
Так как целые части равны, сравниваем дробные: 
и 
;
< (т.к. 1 · 99 < 5 · 20); <
Ответ: 23,05 < 23, (05).
в) Переведем десятичную дробь 7,91(6) в обыкновенную:
7,91(6) = 7 + 
= 
= 
;
Значит, 7,91(6) = - верно.
Ответ: 7,91(6) = .
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания II уровня)
1А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 0,125; б) 0,0(3); в) 6,(435).
1Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
А={ 
; 1,666…; 2 ; 1,521131313…; ; 
; 5,1234167…, 0,27000…; 6,000…; 2,313133313…}
2А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 9,126; б) 2,(2519); в) 2,1(3).
2Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
В={5,111…; 2,311331133113…; 
; 
; 
; 3,000…; 1 
; 0,1231757…; 
}.
3А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 43,375; б) 0,1(2); в) 0,(571428).
3Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
С={7,(5); 
; 0,75; 5,666…; 
; 
; 
; 1,7121314…; 0,(83)}.
4А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 0,1375; б) 0,(31); в) 4,6(3).
4Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
Д={ ; 4,(2); 7,00…; 
; 0,2(34); П; 
; 
; 
; 0,121314…}
5А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 3,075; б) 0,2(35); в) 17,(22).
5Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
Е={ 
; 
; 2,1(3); 45 ; 
; 11,1212…; 25,(2); 71,1444…}.
0А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 7,001; б) 0,5(8); в) 6,(12).
Решение:
а) 7,001 = 
;
б) Для того, чтобы смешанную периодическую дробь перевести в обыкновенную, нужно в числителе записать разность между числом, записанным цифрами, стоящими до второго периода, и числом, записанным цифрами предпериода. В знаменателе записывают число, стоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр в предпериоде.
0,5(8) = 
= 
;
в) Чтобы чистую периодическую дробь перевести в обыкновенную, необходимо в числителе записать число, образованное цифрами периода, а в знаменателе – столько 9, сколько цифр в периоде.
6,(12) = 6 
= 6 
.
0Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
F={ 
; 
; 46,(3); 7,21(35); 
; 
; 47,2(571); 2,1234567…}.
Решение:
а) ; 46,(3); 7,21(35); 
; ; 47,2(571) – элементы множества рациональных чисел Q;
б) ; 2,1234567…– элементы множества иррациональных чисел I;
в) ; – элементы множества целых чисел Z.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания III уровня)
1А. Найдите значение выражения: 
.
1Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий: (2 
– (1 
– (х – 
))) + 3 
=5.
2А. Найдите значение выражения: (1,6 – 2 
.
2Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий: 1 + (2 – (( + х) + 1)) = 2 
.
3А. Найдите значение выражения:
(22 – 21 
) × 1 
+ 1 
(6,3 – 3 
).
3Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий:
12 – (30 – 19 : (2 – х)) × 
= 3.
4А. Найдите значение выражения: 1 
× 4 – (8,9 – 2,6 : ) + 12 
.
4Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий:
(3,28 – (–1,52)) : х + (–1,3)) × (–0,04) = –0,148.
5А. Найдите значение выражения: (0,8 – ) : 2 
– ( – 0,25) : 2 .
5Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий:
3 
: ((2 х + 4 ) : 21 ) – 1 
= 5 .
0А. Найдите значение выражения: 
.
Решение:
1) 8,3 · 1,2 = 9,96;
2) 9,96 + 4,2 = 14,16;
3) 3 
;
4) 
;
5) 
;
6) 14,16 : 
.
Ответ: 42,48.
0Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий:
Решение:
66 : (5 + 3 
: (1 – х)) – 7 = ;
66 : (5 + 3 : (1 – х)) = + 7 ;
66 : (5 + 3 : (1 – х)) = 7 ;
5 + 3 : (1 – х) = 66 : 7 ;
5 + 3 : (1 – х) = 
;
3 : (1 – х) = – 5;
3 : (1 – х) = 
;
1 – х = 3 : ;
1 – х = 
;
х = 1 – ;
х = 
;
х = : = 
.
Ответ: 
.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания IV уровня)
1. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
=1 
.
2. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
=1 
.
3. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
= .
4. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
2 
+ 
+1 
= 5.
5. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
= 
.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания V уровня)
1. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) На сколько процентов повысился дневной заработок рабочего, если вместо 90000 рублей он стал получать 140000 рублей?
б) На складе находится 150 ц гречневой и пшеничной круп. Сколько раз нужно взять гречневой крупы по 3,75 ц, а пшеничной по 2,625 ц, чтобы гречневой осталось в 1,45 раза меньше чем пшеничной?
2. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) На сколько процентов повысился почасовой заработок рабочих при переходе от 8-часового к 7-часовому рабочему дню без изменения дневного заработка?
б) Каждый их трех рабочих должен выполнить одну и ту же работу. Первый и второй вместе порученную им работу выполняют за 12 часов; второй и третий вместе за 13 часа; первый и третий вместе за 10 часа. За какое время каждый рабочий выполнит всю работу?
3. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) За неделю завод выпустил 588000 подшипников вместо 510000 по плану. На сколько процентов перевыполнен план?
б) Расстояние между городами 150 км. В 9 часов утра из одного города в другой выехал первый велосипедист, а в 10,2 часа того же утра навстречу ему из другого города выехал второй велосипедист, который в час проезжал на 2,5 км меньше первого велосипедиста и встретился с ним в три часа дня. С какой скоростью ехал каждый велосипедист?
4. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) При высыхании трава теряет 28% своей массы. Сколько было скошено травы, если получено 144 ц сена?
б) Когда один из друзей потратил , а другой 
своих денег, то у обоих осталось поровну. Сколько денег было бы у каждого, если у первого было на 23000000 рублей больше, чем у второго?
5. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) На товар стоимостью 1120000 рублей за центнер снизили цену сначала на 8%, а через некоторое время понизили цену еще на 8 %. Какова стоимость товара и какой она была бы, если бы цену понизили сразу на 16%?
б) Смешано три вида сухих ягод: 9 кг первого вида, 11 кг второго и 90 кг третьего. Сколько стоит 1 кг ягод каждого вида, если вся смесь стоит 355000 рублей и 1 кг ягод первого вида дороже 1 кг ягод второго на 3000 рублей, а 1 кг второго вида дороже 1 кг ягод третьего на 5000 рублей?