Монотонно возрастающие и убывающие функции
Функция f(x) называется возрастающейна множестве Х, если для произвольных при
выполняется неравенство
, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Например,
,
- возрастают. Функция f(x) называется убывающей,если, наоборот, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: при
. Например:
,
. Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными.
Четные и нечетные функции
Числовое множество Х называется симметричным, если для произвольного элемент
. Например, множество целых чисел, действительных чисел, отрезок [-а, а]. Функция f, определенная на симметричном множестве Х, называется четной, если
. Например:
. График четной функции симметричен относительно оси OY.
Функция f, определенная на симметричном множестве Х, называется нечетной , если . Например:
График нечет-ной функции симметричен относительно точки О(0,0) – начала координат. Функция может быть нечетной, ни нечетной, например:
.
Периодические функции
Пусть f определена на множестве Х. Если существует такое, что
числа
также принадлежат множеству Х и
, то функцию f называют периодическойс периодом
.
Примеры:
1) периодическая с периодом
где
;
2) периодическая с периодом
где
;
3) дробная часть числа: - периодическая,
.
Установление факта периодичности функции существенно облегчает ее изучение и построение графика: периодическую функцию можно исследовать в пределах одного периода. Для построения графика периодической функции с периодом достаточно построить график этой функции на интервале
, а затем полученный график периодически продолжить. Рассмотрим некоторые примеры на установление периодичности функции.
Пример.
Существует ли такое ,чтобы для всех действительных х выполнялосьусловие
Имеем ,
, это выполняется при
. Следовательно, такие
существуют, функция является периодической, наименьший ее положительный период
.
Пример 2. .
Имеем или
- периодическая функция с периодом
.
Ограниченные и неограниченные функции
Функция f, определенная на множестве Х, называется ограниченной на множестве , если множество ее значений f(x) на множестве
ограничено, т.е. существуют постоянные m и М такие, что
. В противном случае функция называется неограниченной.
Примеры:
1) ограничена на всей числовой оси, т.к.
;
2) функция ограничена снизу, так как
;
3) функция ограничена на промежутке
, но ограничена на про-межутке
.
Системы координат
В плоскости, где изображен график функции, можно ввести две системы координат: декартову систему координат и полярную систему координат.
1. Декартова система координат (или прямоугольная) определяется линей- ной единицей измерения и двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями. Точка пересечения осей называется началом координат, а оси – координатными осями. Одна из них – ось ОХ или ось абсцисс, а другая – ось OY или ось ординат. С каждой точкой Р плоскости, в которой выбрана система координат, можно связать два числа, которые получаем следующим образом (рис. 1.4). Опускаем из точки Р перпендикулярны на оси координат.
Y
Py P(x,y)
Px x
Рис. 1.4
Пусть Рх – основание перпендикуляра на оси абсцисс, а Ру – основание перпендикуляра на оси ординат. Точке Рх соответствует действительное число х на оси ОХ, а точке Ру – число на оси ОУ. Эти числа называют координатами точки Р: x – абсциссой и у – ординатой.
Каждую пару действительных чисел можно рассматривать как координаты некоторой точки на плоскости. Чтобы построить точку по её координатам х0 и у0, на плоскости надо отложить числа х0 и у0 соответственно на осях ОХ и ОУ, а затем из этих точек провести перпендикуляры к осям. Точка пересечения перпендикуляров будет искомой.
2. Полярная система координат. Полярные координаты точки на плоскости – это два числа, которые определяют положение этой точки относительно некоторой фиксированной точки О (полюса) и некоторого фиксированного луча (поляр-ной оси).
Первая координата точки М(r,
) – полярный радиус – определяет расстояние точки от полюса:
r; вторая координата
- полярный угол – угол, на который надо повернуть ось
в положительном или отрицательном направлении до совпадения с лучом ОМ (рис.1.5).
P
M
j
0 r
Рис. 1.5
Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным – при отсчете в противоположную сторону.
Если в полярной системе координат условимся длину полярного радиуса считать неотрицательной ( и полярный угол брать в интервале
, то этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и полярными координатами
за исключением полюса, который конкретного полярного угла не имеет. Это соответствие удобно иметь в виду при решении задач на построение отдельных точек на плоскости, определение расстояния между двумя точками, деление отрезка в заданном отношении и др.
При исследовании функций и построении их графиков часто полярный радиус принимает отрицательные значения, а полярный угол – значения, большие , или отрицательные. Например, у функции
при
полярный радиус
а у функции
угол может принимать произвольные значения. Во многих задачах приходится рассматривать значения полярного угла
и полярного радиуса
от
до
. Отрицательные значения
откладывают от полярной оси по часовой стрелке, а отрицательные значения
– на продолжении луча ОР с другой стороны от полюса.
Переход от декартовых координат к полярным и наоборот выполняется по формулам
,
где х, у – декартовы координаты произвольной точки М(х,у), а - её полярные координаты.
Здесь декартова система координат выбрана так, чтобы её начало О совпадало с полюсом полярной системы, а ось ОХ – с полярной осью.