Математические модели технической физики

Под математическим моделированием понимают описание окружающей нас действительности при помощи уравнений математики (определяющих уравнений). Исследование свойств решений этих уравнений позволяет вскрыть суть физических явлений и получить знания, которые зачастую не могут быть получены иным путём. Получение решений определяющих уравнений в простейших случаях может осуществляться аналитически, в более сложных случаях приходится прибегать к постановке вычислительного эксперимента – поиску решения на ЭВМ с применением методов вычислительной математики.

Следует отметить, что одно и то же физическое явление может быть описано целым рядом математических моделей, имеющих различную степень точности, что позволяет говорить об иерархии математических моделей, описывающих данное явление. Применение более простых моделей, с одной стороны, существенно снижает трудоемкость моделирования и сокращает потребность исследователя в вычислительных ресурсах, с другой стороны – сужает пределы применимости полученных результатов и уменьшает их ценность (вплоть до полной потери физического смысла). Таким образом, первая проблема, встающая перед исследователем, при применении методов математического моделирования заключается в выборе модели, позволяющей получить результаты должного качества в приемлемые сроки с использованием имеющихся вычислительных ресурсов.

Сказанное может быть пояснено следующим примером.

Как известно, плоское движение вязкой несжимаемой жидкости может быть описано системой уравнений Навье-Стокса[1], известной с 1823 года:

(1)

где t – время;

х, у – независимые ортогональные пространственные переменные;

u, v – составляющие скорости вдоль осей х и у;

р – давление;

r ‑ плотность жидкости;

F_x, F_y – напряженность внешних (массовых) сил;

n ‑ кинематическая вязкость жидкости.

Первые два уравнения системы (1) выражают закон сохранения количества движения в направлении осей х и у, а последнее (уравнение неразрывности) – закон сохранения массы. Неизвестными в них являются компоненты скорости u и v, а также давление р.

Получение решения уравнений (1) применительно к практически интересным объектам для турбулентного режима течения до сих пор наталкивается на технически непреодолимые трудности ввиду ограниченности вычислительных ресурсов современных ЭВМ. По имеющимся оценкам [Андерсон и др., Белов И. А. и Исаев С. А.], требуется до 100 мегабайт оперативной памяти ЭВМ[2] для описания с помощью уравнений Навье-Стокса развитого турбулентного течения в области объемом 1 см³. Столь высокие требования к вычислительным ресурсам объясняются необходимостью описания самых малых турбулентных пульсаций параметров потока. По оценке известного исследователя P. Spalart, при существующих темпах роста производительности ЭВМ, решение уравнений Навье-Стокса, применительно к практически интересным объектам (напр., самолет), следует ожидать не ранее 2080 г.

В настоящее время удалось получить решения уравнений (1) применительно к ряду относительно простых задач (напр., задача о течении в канале простой формы), а основное направление развития численных методов расчета турбулентных течений заключается в исследовании методов решения осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса.

Метод осреднения Рейнольдса заключается в замене случайно изменяющихся характеристик потока (скорость, давление, плотность[3]) суммами осредненных и пульсационных составляющих[4] (рис. 1):

(2)

Подстановка соотношений (2) в уравнения Навье-Стокса (1) позволяет получить уравнения Рейнольдса[5]:

(3)

Рис. 1. Зависимость скорости u(t), осредненной скорости и напряжений Рейнольдса от времени t

Уравнения Рейнольдса описывают осредненное по времени течение жидкости, их особенность заключается в том, что в них появились новые неизвестные функции , которые характеризуют кажущиеся турбулентные напряжения[6] (напряжения Рейнольдса). Таким образом, система уравнений (3) содержит шесть неизвестных и оказывается незамкнутой, в связи с чем, для её решения приходится привлекать дополнительную информацию.

Весьма существенным является то обстоятельство, что напряжения Рейнольдса являются случайными величинами, поэтому в расчетах используют статистические данные об их величине, которые получают путем анализа результатов эксперимента. Также необходимо отметить, что напряжения Рейнольдса являются свойством течения (а не свойством жидкости), поэтому, если условия рассматриваемой задачи будут существенно отличаться условий, в которых были получены статистические данные о величине напряжений Рейнольдса, результаты расчета могут оказаться качественно неверными. К настоящему времени разработано значительное количество моделей турбулентности различной сложности, позволяющих оценить (смоделировать) величину турбулентных напряжений в различных условиях [Белофф+Исаев, Курбацкий, Фрик, Wilcox].

В 1904 г. Людвиг Прандтль ввел понятие пограничного слоя. Рассматривая обтекание твердых тел, он пришел к выводу о том, что вблизи поверхности тела может быть выделена некоторая область, в пределах которой силы вязкости сопоставимы по величине с силами инерции, а вне которой вязкие силы могут быть исключены из рассмотрения. Анализируя порядок различных величин в уравнениях (3), Прандтль показал, что, при рассмотрении течения в пограничном слое, система уравнений Рейнольдса может быть существенно упрощена. Главные выводы Прандтля заключаются в том, что можно исключить из рассмотрения второе уравнение (поперечного движения) системы (3) и вторые производные скоростей по продольной координате. Аналогичное упрощение может быть произведено и для других течений, обладающих преимущественным направлением движения жидкости (сдвиговым течениям).

Таким образом, система уравнений турбулентного движения жидкости в пограничном слое (уравнений Прандтля) имеет вид:

(4)

Для замыкания системы уравнений Прандтля (также как и замыкания уравнений Рейнольдса) приходится использовать модели турбулентности. При использовании уравнений Прандтля, как правило, возникает необходимость учета обратного влияния течения в пограничном слое на характеристики внешнего потока (проблема вязко-невязкого взаимодействия [Белоцерк]). В конце ХХ столетия, в связи с бурным ростом возможностей вычислительной техники, актуальность исследования решений уравнений Прандтля в значительной мере снизилась.

Применительно к некоторым течениям может быть выдвинуто предположение об исчезающее малом влиянии вязкости на их характеристики (напр., задачи о волнообразовании на свободной поверхности жидкости). В других случаях, влияние вязкости может быть учтено путем внесения в поток системы вихрей заданной циркуляции (напр., теория крыла, теория вязко-невязкого взаимодействия). Исключение из уравнений Навье-Стокса (1) членов, учитывающих вязкость, позволяет получить систему уравнений движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):

(5)

Уравнения Эйлера позволяют сравнительно легко получить аналитические решения многих важных задач, кроме того, к ним применим принцип суперпозиции, позволяющий получать решения сложных задач в виде суммы решений простых задач. Например, современная теория проектирования оптимальных гребных винтов базируется на решении уравнений Эйлера, при этом влияние вязкости жидкости учитывается специальной системой поправок.

Системы дифференциальных уравнений (1), (3), (4), (5) совместно с соответствующими граничными и начальными условиями дают пример иерархической системы математических моделей движения жидкости. Как уже указывалось, выбор той или иной модели определяется задачей, стоящей перед исследователем, сроками, отведенными на решение, имеющимися в наличии вычислительными, программными и экспериментальными ресурсами, а также квалификацией исследователя.

Приведенная классификация математических моделей является упрощенной. В тех случаях, когда возникает необходимость рассмотрения задач, связанных с движением многофазных жидкостей или переносом примесей, модели (1, 3÷5) приходится дополнять соответствующими уравнениями (напр., уравнениями сохранения массовой концентрации химической компоненты). Не следует также забывать о том, что гидромеханика может рассматриваться как составная часть теплофизики, поэтому, при рассмотрении многих практических задач, модели движения жидкости приходится дополнять уравнениями теплофизики, описывающими процессы горения и распространения тепла в пространстве.

Отметим, что первые два уравнения в системах (1, 3÷5), выражающие закон сохранения количества движения жидкости, могут быть записаны в обобщенной форме:

(6)

где Ф – рассматриваемая компонента скорости;

D_Ф= – конвективный член, описывающий перенос Ф полем течения;

– диффузионный член, описывающий распространение Ф за счет диффузии;

S_Ф – источниковый член, учитывающий всё прочие факторы, влияющие на генерацию, перенос и диссипацию величины Ф.

Следует отметить, что к виду (6) могут быть приведены многие определяющие уравнения теплофизики. Точно также, как и рассмотренные выше математические модели движения жидкости (1, 3÷5), дифференциальное уравнение (6) описывает закон сохранения величины Ф, т.е. баланс между нестационарным , конвективным, диффу­зионным и источниковым членами.

При условии выполнения ряда гипотез[7], плоское напряженное состояние в точке тела может быть описано при помощи основной системы уравнений теории упругости, включающей в себя[8]:

· уравнения равновесия элементарного тетраэдра, связывающие нагрузки, действующие на поверхность тела с напряжениями внутри его:

;	(7а)
· уравнения равновесия элементарного параллелепипеда:
;	(7b)
· закон Гука, связывающий тензор напряжений с тензором деформаций:
;	(7c)
· уравнения Коши, связывающие деформации с перемещениями:
;	(7d)
· уравнение сплошности (совместности деформации соседних элементарных объемов):
,	(7е)

где: – нормальные напряжения, действующие вдоль осей х и у; – касательные напряжения; l, m – направляющие косинусы нормали к поверхности тела; р_νх, р_νх – напряжения поверхностных сил; ρ – плотность материала; u, v – перемещения; t – время; Х, Y – напряженность массовых сил, действующих в рассматриваемом элементарном объеме; – линейные и угловая деформации в рассматриваемой точке; Е – модуль нормальной упругости; G – модуль сдвига; μ – коэффициент Пуассона; α – коэффициент теплового расширения; Т – изменение температуры.

Основная система уравнений теории упругости (7), также как и система уравнений Эйлера (5), сравнительно легко поддается решению. Для значительного числа задач теории упругости получены аналитические решения.

2. Физико-математическая классификация
дифференциальных уравнений в частных производных

Многие задачи технической физики сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных. Поскольку методы решения[9] дифференциальных уравнений различных типов имеют особенности, исследователю необходимо иметь четкое представление о классификации уравнений в частных производных.

При рассмотрении задач технической физики зависимая переменная Ф, как правило, является функцией трех пространственных координат (x,y,z) и времени t: Ф=Ф(х,у,z,t). Если искомая функция Ф не зависит от времени, задача называется стационарной, в противном случае – нестационарной. Задача, в которой искомая функция Ф зависит только от одной пространственной координаты, называется одномерной (1D). Если искомая функция зависит от двух пространственных переменных, задача называется двумерной (2D), если от трех пространственных переменных – трехмерной (3D).

Линейной системой дифференциальных уравнений называется система таких уравнений, в которые неизвестные функции и их производные входят линейно. В частности, следует отметить, что уравнения динамики вязкой жидкости (1, 3, 4) – нелинейные.

Система уравнений Эйлера (5) и основная система уравнений теории упругости (7) – линейные. Весьма важным является то обстоятельство, что для линейных систем (в отличие от нелинейных) доказан факт существования и единственности решения.

Однако, в тех случаях, когда выдвинутые гипотезы⁹ нельзя считать справедливыми, система уравнений, описывающая напряженное состояние тела, становится нелинейной, что резко усложняет процедуру получения решения. Так, в частности, отказ от гипотезы физической линейности, вынуждает нас использовать вместо системы уравнений (7) нелинейные уравнения теории пластичности. Если возникающие в теле деформации нельзя считать малыми, по сравнению с размерами тела, то вместо системы уравнений (7) приходится использовать нелинейные уравнения теории упругости.

Математическую классификацию уравнений в частных производных второго порядка обычно рассматривают на примере двумерного линейного стационарного уравнения:

(8)

где a(x,y), b(x,y), c(x,y), d(x,y), e(x,y), f(x,y), g(x,y) – известные функции координат х и у.

Дифференциальное уравнение (8) называется гиперболическим в области D={x_min<x<x_max, y_min<y<y_max} если во всех точках этой области определитель уравнения Δ(x,y)=b²-4·a·c>0. Уравнение (8) называется параболическим в области D, если в этой области Δ(x,y)=b²-4·a·c=0. Если же в области D значения определителя Δ(x,y)=b²-4·a·c<0, то уравнение (8) называется эллиптическим.

Вопрос о классификации систем дифференциальных уравнений представляется более сложным, поскольку в состав системы могут входить уравнения различного типа. Тем не менее, в качестве примера, можно указать, что, в случае движения несжимаемой жидкости, системы уравнений Навье-Стокса (1) и Рейнольдса (3) являются эллиптическими, а система уравнений Прандтля (4) относится к смешанному параболическо-гиперболическому типу. Рассматривая установившееся движение невязкой сжимаемой жидкости можно показать, что если скорость течения меньше скорости звука, то система уравнений будет эллиптической, а при скорости, превосходящей скорость звука, ‑ гиперболической.

Для того чтобы пояснить физический смысл приведенной классификации, следуя Патанкару [старый добрый Патанкар], введем понятия односторонних и двухсторонних координат.

Рассмотрим некоторую координатную линию L={x_min<x<x_max; y=const}. Если для любой точки координатной линии х₀ÎL значения искомой функции Ф(х₀) зависят только от значений функции Ф(х^*, х^*< х₀) (т.е. от значений Ф в точках, находящихся слева от точки х₀), то координатная линия называется односторонней. Естественным примером односторонней координаты является время. Под воздействием “сильного” (напр., сверзвукового) течения жидкости вдоль координатной линии пространственная координата также может стать практически односторонней. Таким образом, для нахождения функции Ф(х), зависящей от односторонней координаты, в качестве начального условия достаточно задать её значение на границе, находящейся выше по потоку, Ф(х_min)[10]. Задачи, связанные с нахождением функций, зависящих от односторонних координат, называются маршевыми (эволюционными).

Координатная линия называется двухсторонней, если значения искомой функции в некоторой точке Ф(х₀), зависят от значений функции в точках, находящихся по разные стороны от точки х₀. Примером функции, зависящей от двухсторонней координаты, может служить закон распределения температуры по длине стержня, нагреваемого с двух сторон. Проблема отыскания функции, зависящей от двухсторонней координаты, сводится к рассмотрению граничной задачи, для решения которой должны быть заданы значения искомой функции на границах интервала Ф(х_min) и Ф(x_max)[11].

Математические термины параболический и эллиптический соответствуют концепциям односторонних и двухсторонних координат [Патанкар]. Первый термин означает одностороннее поведение, второй – двухстороннее. Особенность гиперболических задач заключается в том, что они, так же как и параболические, имеют одностороннее поведение, но не вдоль координатных направлений, а вдоль специальных линий, именуемых характеристиками.