Накопительное страхование с фиксированными взносами

В страховой практике часто используют накопительные схемы страхования, в которых фиксируются величины не страховых выплат, а уплачиваемых взносов. Искомая величина, подлежащая определению с помощью актуарных расчетов, – накопленная величина вкладов. Причина популярности таких схем заключается в том, что страхователи психологически легче воспринимают банковскую схему наращения вклада, которая позволяет легко оценить доходность. Кроме того, вследствие постоянного изменения процентной ставки, не представляется возможным гарантированно спланировать на срок более года страхование по классической схеме с нормой доходности, способной конкурировать с сегодняшней доходностью банковских вкладов. Применение схемы с фиксированными взносами позволяет работать с плавающей процентной ставкой, которую можно в каждый момент времени выбрать на достаточно высоком конкурентоспособном уровне.

Если каждый член большой группы численностью в возрасте внесет в фонд платеж в размере 1, то через лет накопленная сумма будет равна . В расчете на одного дожившего до возраста это даст

. (1)

Из формулы (1) видно, что наращение суммы будет происходить более высокими темпами, чем на банковском вкладе с такой же процентной ставкой, за счет перераспределения вкладов умерших между дожившими.

Если каждый член группы в начале каждого года вносит в фонд сумму в размере 1 (рента пренумерандо), то накопленная через лет сумма в расчете на одного дожившего будет равна

. (2)

Если взносы будут вноситься в конце каждого года (рента постнумерандо), то аналогичным образом получим

. (3)

Сравнивая формулы (2), (3) с формулами и видим, что они связаны универсальным соотношением

. (4)

Страховые премии

Основные определения

Ранее была рассмотрена теория страховых выплат для различных видов страхования жизни и была определена единовременная стоимость страховых выплат на момент заключения договора. Однако долгосрочные контракты по страхованию жизни оплачиваются единовременным взносом только в редких случаях – слишком велика их стоимость. Как правило, страховая премия уплачивается в рассрочку – ежегодно, ежеквартально, ежемесячно. Если при единовременной оплате страхователь полностью выполняет свои обязательства на момент заключения договора, то при периодической уплате взносов они выполняются в рассрочку. Очевидно, что от способа уплаты страховой премии страхователем стоимость обязательств страховщика никак не зависит.

При расчете величины периодически уплачиваемых взносов необходимо учитывать как процентный доход от их инвестирования, так и демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает существенное влияние на величину взносов, поскольку далеко не все страхователи успевают до наступления смерти уплатить все предусмотренные контрактом взносы. Если величина периодически уплачиваемых взносов постоянна, то совокупность этих взносов представляет собой постоянную ренту платежей. В связи с тем, что договор страхования вступает в силу только после получения первого взноса, рента страховых платежей всегда является приведенной (рента постнумерандо).

Основа для расчета величины страховых взносов – условие равенства обязательств страховщика и страхователя на момент заключения договора: ожидаемая текущая стоимость предстоящих страховых выплат должна быть равна ожидаемой текущей стоимости предстоящих текущих взносов. Если договор страхования сроком на лет заключен в возрасте , ожидаемая текущая стоимость страховых выплат равна , а неизвестная величина ежегодных страховых взносов равна , то это равенство имеет вид

, (1)

где – ожидаемая текущая стоимость ренты с ежегодными платежами единичной величины.

Отсюда ежегодный взнос

. (2)

Формула (2) показывает, во сколько раз величина ежегодного взноса меньше величины единовременно уплачиваемого взноса, поэтому величину часто еще называют коэффициентом рассрочки. Если уменьшение численности страхователей и процентный доход от взносов равны нулю ( , то коэффициент рассрочки будет в точности равен продолжительности срока платежей .

Часто период уплаты страховой премии составляет лишь часть срока действия договора страхования. В течение периода уплаты страховой премии страхователь обязан полностью внести подлежащие уплате взносы, т.е. полностью выполнить свои обязательства. Срок уплаты премий будем обозначать буквой . Первая премия вносится в начале первого года страхования, последняя – в начале -ого года. Величина ежегодного взноса определяется тогда формулой

. (3)

Период от даты уплаты последнего взноса до первой (или единственной) страховой выплаты называют выжидательным. При страховании капитала на дожитие выжидательный период продолжается до окончания срока договора страхования. При страховании ренты выжидательный период заканчивается с началом периода выплат ренты.