Исследователь вносит гипотезу о структуре ящика
Рассматривая экспериментально полученные данные, предположим, что они подчиняются линейной гипотезе, то есть выход Y зависит от входа X линейно, то есть гипотеза имеет вид: (рис. 5.2).
2) Определение неизвестных коэффициентов A0 и A1 модели
Линейная одномерная модель (рис. 5.3).
Рис. 5.3. Одномерная модель черного ящика
Для каждой из снятых экспериментально точек вычислим ошибку между экспериментальным значением и теоретическим значением , лежащим на гипотетической прямой (см. рис. 5.2):
Ошибки для всех точек следует сложить. Чтобы положительные ошибки не компенсировали в сумме отрицательные, каждую из ошибок возводят в квадрат и складывают их значения в суммарную ошибку уже одного знака:
Цель метода — минимизация суммарной ошибки за счет подбора коэффициентов . Другими словами, это означает, что необходимо найти такие коэффициенты линейной функции , чтобы ее график проходил как можно ближе одновременно ко всем экспериментальным точкам. Поэтому данный метод называется методом наименьших квадратов.
Суммарная ошибка является функцией двух переменных и , то есть , меняя которые, можно влиять на величину суммарной ошибки (см. рис. 5.4).
Рис. 5.4. Примерный вид функции ошибки
Чтобы суммарную ошибку минимизировать, найдем частные производные от функции по каждой переменной и приравняем их к нулю (условие экстремума):
После раскрытия скобок получим систему из двух линейных уравнений:
Для нахождения коэффициентов и методом Крамера представим систему в матричной форме:
Решение имеет вид:
Вычисляем значения и .
Проверка
Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, нужно, во-первых, рассчитать ошибку между точками заданной экспериментальной и полученной теоретической зависимости и суммарную ошибку:
И, во-вторых, необходимо найти значение по формуле , где — суммарная ошибка, — общее число экспериментальных точек.
Если в полосу, ограниченную линиями и (рис. 5.5), попадает 68.26% и более экспериментальных точек , то выдвинутая нами гипотеза принимается. В противном случае выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют дополнительное условие: в полосу, ограниченную линиями и , должны попасть 95.44% и более экспериментальных точек .
Рис. 5.5. Исследование допустимости принятия гипотезы
Расстояние связано с следующим соотношением:
что проиллюстрировано на рис. 5.6.
Рис. 5.6. Связь значений σ и S
Условие принятия гипотезы выведено из нормального закона распределения случайных ошибок (см. рис. 5.7). — вероятность распределения нормальной ошибки.
Рис. 5.7. Иллюстрация закона нормального распределения ошибок