Бесконечно малые и бесконечно большие функции

О п р е д е л е н и е 1 Функция называется беско -нечно малой, в точке , если

Исходя из этого определения, для того, чтобы для функци выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой при .

Отсюда получаем специальное представление для функции, имеющей в точке предел, равный :

, где

При этом говорят, что в окрестности точки функция отличается от на бесконечно малую функцию.

Замечание Алгебраическая сумма и произведение конеч -ного числа бесконечно малых функций, а также произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию являют-

ся бесконечно малыми функциями при .

О п р е д е л е н и е 2. Функция является беско -нечно большой функцией при , если для любого существует , такое что для всех , удо -влетворяющих неравенству , выполняется нера – венство . В этом случае пишут и говорят, что функция стремится к бесконечности при ., или что она имеет бесконечный предел в точке .

Так же как и для последовательностей, для функций имеет место

УТВЕРЖДЕНИЕ. Если при - бесконечно малая функция, то функция является бесконечно большой и наоборот, если - бесконечно большая функция, то функция - является бесконечно малой.

Например, при функции будут бесконечно малыми функциями.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть при функции и являются бесконечно малыми. Тогда выполняются следующие правила сравнения:

1. если , то - бесконечно малая более высокого порядка, чем и записываю ;
2. если , то говорят, что и бесконечно малые функции одного порядка;
3. если , то говорят, что и эквивалентные бесконечно малые функции и обозначают ~ .

Например,

1) Функции и являются эквивалентными бес –

конечно малыми функциями при , так как .

2) Функции и при являются беско -нечно малыми функциями одного порядка, так как

.

3) Функция бесконечно малая более высокого порядка, чем при , так как

.

Важное значение при вычислении пределов имеет так называемая

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:

Если при функция является бесконечно малой, т.е. , то можно проверить что следующие функции являются эквивалентными:

1. ~ ; 2. ~ ; 3. ~ ; 4. ~ ;

5. ~ ; 6. ~ ; 7. ~ ;

8. ~ ; 9. ~ :

10. ~ ; 11. ~ .

Чтобы можно было вычислять пределы, используя таблицу эквивалентных бесконечно малых функций важно знать следующий факт.

ТЕОРЕМА. Если при эквивалентны следующие

бесконечно малые функции : ~ и

~ , то выполнено равенство

.

Например, вычислить предел

Если мы воспользуемся теперь таблицей, получим

.

Таким образом можно вычислять довольно сложные пределы.

Сравнение бесконечно больших функций.

Если при функции и являются бесконечно большими, т.е. , то также можно привести правила сравнения этих функций:

1) Если , то говорят, что функция имеет больший порядок роста, чем .

2) Если , то говорят, что функции и имеют одинаковый порядок роста.

3) Если , то говорят, что и эквивалентные бесконечно большие функции и записывают ~ .

При вычислении пределов при , важно знать, что любой многочлен степени эквивалентен своей старшей степени, т.е. ~ , и при вычислении пределов дробно – рациональных функций, на значение предела влияет только отношение старших степеней. Поэтому, если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен нулю, если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , если степени числителя и знаменателя совпадают, то предел равен отношению коэффициентов перед старшими степенями .

Например, .