Уравнения центральных поверхностей второго порядка

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
λ=0-точка

λ =1-эллипс,

λ.=-1-мнимый эллипс.

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
λ = 1-однополостный гиперболоид

λ =-1-двуполостный гиперболоид;

λ = 0 эллиптический конус.

Нецентральные поверхности

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
λ =l-эллиптический параболоид,

λ =-1 гиперболический параболоид.

2.Цилиндрические поверхности:

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
λ=1- эллиптический цилиндр,

λ=1- гиперболический цилиндр.

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
-мнимый эллиптический цилиндр(уравнению не удовлетворяет ни одна точка),

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
-пара плоскостей,

г) х2 = 2ру, у2 = 2рх, z2 = 2рх , (1.6.12)

и т.д. параболические цилиндры.

Плоскости

х2 = λа2 , а ≠0, λ=1 пара параллельных плоскостей;

λ=-1 мнимые плоскости (уравнению не удовлетворяет ни одна точка пространства);

λ=0 - пара совпадающих плоскостей.

Пример 1.6.1. Записать каноническое уравнение кривой второго порядкаЗх2+4xу - 4х- 8y = 0 (сравните с решением примера 1.4.1 темы 1.4).

Квадратичная форма, содержащаяся среди слагаемых левой части уравнения имеет видF(x,y)= Зх2+ 4xy , а ее матрица

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
Вычислим собственные числа и собственные векторы матрицы А (см. тему 1.5)

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru Пусть собственные векторы Хi1(i), а2(i)) i.=1,2, где а1(i), а2(i - коор­динаты. Система (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид

(3-λ)a1+2a2=0

2a1-λa2=0 (1.6.14)

Найдем собственные числа λ , решив характеристическое уравнение (1.5.6) .

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
Подставим первое собственное число λ1=4 в систему (1.6.4).

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
и соответствующий единичный вектор X10 имеет вид

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
Подставим второе собственное число λ2=-1 в систему (1.6.14):

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
Перейдем в двумерное пространство R2 к новому базису состав­ленному из собственных векторов матрицы А Х10 и Х20. При этом мат­рица квадратичной формы В в новом базисе будет иметь вид (1.5.3)

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
где матрица Т составлена из координат собственных векторов, запи­санных в столбцы. Связь между старыми координатами х, у (в базисе i, j ) и новыми координатами x1, y1 (в новом базисе) реализуется по формуле

квадратичная форма в новом базисе имеет вид (1.6.3) (случай двух переменных) F(x1, y1) = 4x12 - у12 .

 
  Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru

Запишем равнение кривой второго порядка в новых координатах, приведем подобные.




Уравнение совпало с уравнением, полученным в примере 1.4.1. темы 1.4 и поэтому дальнейшие преобразования идентичны.

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
сопряженная гипербола с полуосями а=1, b=2.

Пример 1.6.2.Записать каноническое уравнение поверхности вто­рого порядка

11x2 + 4ху + 2y2 - 16xz + 20yz + 5z2 + 6x + l2y -6=0.

Запишем квадратичную форму, входящую в состав левой части уравнения F(x,y,z)=llxг + 4ху+2у2 - 16xz + 20yz + 5z2

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
Собственные числа этой матрицы λ1 = 9, λ2 = l8, λ 3 = -9 и единичные cобст-венные векторы X10 = (2/3, 2/3, 1/3)T, X20 =(-2/3, 1/3, 2/3)Т, X30=(1/3, -2/3, 2/3)Т

найдены в примере 1.5.4 (см. тему 1.5). Связь между координатами x, y,z в старом базисе (i,j,k) и координатами x1,y1,z1 в новом базисе (X10,X20,X30) имеет вид

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
Выше записанная матрица, как в примере 1.6.1,образована из коорди­нат собственных векторов, записанных в столбцы. Матрица квадратичной формы В в новом базисе - диагональная

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
F(x,y,z) =9x12 +18y12 -9z12

Запишем уравнение поверхности второго порядка в новых коорди­натах, приведем подобные члены и выделим полные квадраты

9x12 +18y1 2 - 9z12 + 2(2x1 - 2y1 + z1) + 4(2x1 +y1 -2z1) - б = 0;

 
  Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru

9x12 + I8y12 - 9z12 +12x1 - бz1 - б = 0;

Перейдем к новым координатам (параллельный перенос):

Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru Уравнения центральных поверхностей второго порядка - student2.ru
Полученное уравнение является каноническим уравнением однополо стного гиперболоида (1.6.7) с параметрами а =1, b =√2/2, с=1.

После изучения материала, содержащегося в разделе 1, студент должен выполнить контрольную работу N1.

Вопросы для самопроверки

1. Изобразите схематично основные поверхности второго порядка.

2. Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собою:

а) плоскость;

б) пустое множество?

Привести примеры.

3. Назовите типы и выпишите канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка.

4.Докажите, что всякое уравнение F(x,y,z)=0, где F-однородный многочлен второй степени, определяет конус с вершиной в начале ко­ординат.

После изучения тем 1.1-1.6 раздела 1 студенту необходимо вы­полнить контрольную работу № 1.

Наши рекомендации