Плоскорадиальный поток идеального газа при нарушении закона Дарси

Вблизи большинства газовых скважин происходит нарушение закона Дарси, поэтому расчеты, связанные с разработкой газовые месторождений, а также с исследованием скважин, проводят обычно по нелинейным законам фильтрации. При этом нельзя использовать для расчета дебита скважины формулу Дюпюи и нельзя использовать аналогию между фильтрацией жидкости и газа, так как они выведены с учетом движения по закону Дарси.

Пусть в газовом пласте толщиной h, проницаемостью k пробурена скважина радиусом r_c. На скважине поддерживается давление p_c, а на контуре питания радиусом R_k – давление p_k. В пласте происходит фильтрация газа по нелинейному (двухчленному) закону фильтрации.

Необходимо рассчитать дебит скважины и распределение давления вокруг скважины.

Математически эта задача описывается уравнением неразрывности потока:

;

(3.31)

нелинейным законом фильтрации:

;

(3.32)

зависимостью плотностью газа от давления:

;

(3.33)

и граничными условиями:

(3.34)

Эту систему уравнений будем решать методом исключения переменных. Из уравнения неразрывности найдем скорость фильтрации и подставим в нелинейный закон фильтрации, при этом исключается скорость фильтрации из уравнения фильтрации:

.

(3.35)

Выразим массовый расход через объемный расход при атмосферном давлении, а плотность через давление:

.

(3.36)

Полученное дифференциальное уравнение первого порядка будем интегрировать методом разделения переменных. Для этого умножим уравнение на 2 p dr:

.

(3.37)

Для того, чтобы найти распределение давления вокруг скважины, будем интегрировать это уравнение по давлению от давления на скважине p_c до текущего давления p(r), а по радиусу – от радиуса скважины r_c до текущего радиуса:

.

(3.38)

Для нахождения дебита скважины воспользуемся вторым граничным условием – заданным давлением p_k на контуре питания. Пренебрегая 1/R_k во втором слагаемом (1/R_k<<1/r_c) получим:

.

(3.39)

Обычно вводят обозначения:

(3.40)

Тогда уравнение расчета дебита примет вид:

.

(3.41)

Коэффициенты „a” и „b” называются коэффициентами фильтрационных сопротивлений и определяются опытным путем по данным исследования скважины при установившихся режимах. Для нахождения дебита скважины по известным значениям „a”, „b” и разницы квадратов давлений необходимо решить квадратное уравнение:

.

(3.42)

В этом уравнении выбираем знак + , так как дебит скважины не может быть отрицательным. При b ® 0 последнее уравнение приводит к неопределенности типа 0/0, поэтому преобразуем его к виду, в котором этой неопределенности нет: