Операции над множествами

Объединение двух множеств А и В – это новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие множеству А или множеству В. Обозначение: А Операции над множествами - student2.ru В.

А Операции над множествами - student2.ru В={x| х Операции над множествами - student2.ru А или х Операции над множествами - student2.ru В}.

Пересечение двух множеств А и В – это новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие множеству А и множеству В. Обозначение: А Операции над множествами - student2.ru В.

А Операции над множествами - student2.ru В={x| х Операции над множествами - student2.ru А и х Операции над множествами - student2.ru В}.

Разность двух множеств А и В – это новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Обозначение: А \ В.

А \ В={x| х Операции над множествами - student2.ru А и х Операции над множествами - student2.ru В}.

Обычно элементы множеств выбираются из некоторого достаточно широкого множества U, которое называется универсум. В связи с этим понятием можно ввести операцию дополнение.

Дополнением множества А называется множество, которое состоит из элементов универсума, не принадлежащих множеству А. Обозначение: Операции над множествами - student2.ru .

Операции над множествами - student2.ru =U \ A или Операции над множествами - student2.ru ={x| х Операции над множествами - student2.ru А и х Операции над множествами - student2.ru U}.

Пример: U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={1, 2, 3, 4, 5}, В={2, 4, 6}.

А Операции над множествами - student2.ru В = {1, 2, 3, 4, 5, 6} А Операции над множествами - student2.ru В = {2, 4} А \ В = {1, 3, 5}

В \ А = {6} Операции над множествами - student2.ru = {6, 7} Операции над множествами - student2.ru = {1, 3, 5, 7}

Для наглядного изображения соотношений между множествами и изображения результатов операций над множествами используют диаграммы Эйлера.

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru Пример:

       
  Операции над множествами - student2.ru   Операции над множествами - student2.ru
 

B Операции над множествами - student2.ru A А Операции над множествами - student2.ru В А Операции над множествами - student2.ru В А \ В

Свойства операций над множествами.

Идемпотентность пересечения, объединения.

А Операции над множествами - student2.ru А = А А Операции над множествами - student2.ru А = А

Коммутативность пересечения, объединения.

А Операции над множествами - student2.ru В = В Операции над множествами - student2.ru А А Операции над множествами - student2.ru В = В Операции над множествами - student2.ru А

Ассоциативность пересечения, объединения.

Операции над множествами - student2.ru В) Операции над множествами - student2.ru С = А Операции над множествами - student2.ruОперации над множествами - student2.ru С) (А Операции над множествами - student2.ru В) Операции над множествами - student2.ru С = А Операции над множествами - student2.ruОперации над множествами - student2.ru С)

Законы поглощения.

Операции над множествами - student2.ru В) Операции над множествами - student2.ru А = А (А Операции над множествами - student2.ru В) Операции над множествами - student2.ru A = А

Свойства пустого множества.

А Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru = Операции над множествами - student2.ru А Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru = А

Свойства универсума.

А Операции над множествами - student2.ru U = A А Операции над множествами - student2.ru U = U

Инволютивность.

Операции над множествами - student2.ru = А

Законы де Моргана.

Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Свойства дополнения.

А Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru = Операции над множествами - student2.ru А Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru = U

Выражения для разности.

А \ В = А Операции над множествами - student2.ru Операции над множествами - student2.ru

Основы математической логики

Логические представления – описание исследуемой системы, процесса, явления в виде совокупности сложных высказываний, составленных из простых (элементарных) высказываний и логических связок между ними. Логические представления и их составляющие характеризуются определенными свойствами и набором допустимых преобразований над ними (операций, правил вывода и т.п.), реализующих разработанные в формальной (математической) логике правильные методы рассуждений – законы логики

Логика высказываний

Способы (правила) формального представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся с помощью логически выдержанных преобразований, а также способы (методы) установления истинности или ложности высказываний изучаются в математической логике. Современная математическая логика включает два основных раздела: логику высказываний и охватывающую ее логику предикатов, для построения которых существуют два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логические исчисления. Между основными понятиями этих языков формальной логики имеет место взаимно однозначное соответствие.

Основными объектами традиционных разделов логики являются высказывания.

Высказывание – повествовательное предложение (утверждение, суждение), о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Все научные знания (законы и явления физики, химии, биологии и др., математические теоремы и т.п.), события повседневной жизни, ситуации формализуются в виде высказываний. Повелительные, вопросительные и бессмысленные предложения не являются высказываниями.

Примеры высказываний: дважды два – четыре, мы живем в 21 веке.

Для того чтобы далее оперировать этими предложениями как высказываниями, мы обязаны знать относительно каждого из них, истинно оно или ложно, т.е. знать их истинное значение (истинность).

Основные понятия логики высказываний

В формально-логических выводах используются истинные и ложные предложения.

Определение: повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Примеры высказываний: "кит - животное", "все углы - прямые" и т. п. Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе - ложным. Предложение "реши задачу", также как и "2+2", не является высказываем.

Определения математических понятий не являются высказываниями, т.к. это принятые соглашения.

Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами: A, B, C,….

Элементарные, нерасчленяемые высказывания будем называть атомами. Употребляемые в обычной речи логические связки "и", "или", "если..., то...", "эквивалентно", частица "не" и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более "сложные" высказывания.

Аналогично тому, как в языке из простых предложений с помощью логических связок образуются сложные предложения, так и в логике высказываний из атомов можно образовывать составные высказывания.

Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

Рассмотрим определения логических операций, соответствующих логическим связкам.

Каждому высказывания можно сопоставить его истинностное значение, обозначаемое соответственно через И (если высказывание истинно), Л (если высказывание ложно).

Истинностное значение сложных высказываний зависит от истинностных значений высказываний, составлявших слоеное высказывание.

Эта зависимость устанавливается в данных ниже определениях я стращается в таблицах истинности.

Наши рекомендации