Общий алгоритм построения математической модели
Различают аналитический, аналитико-экспериментальный и экспериментальный методы. Первый основывается на изучении физических и химических процессов и отражает уровень знаний о них. Если знания не точны или их не хватает, недостающие получают из эксперимента. Это и есть содержание второго метода. А когда совсем (или почти) ничего неизвестно, к объекту подходят как к «черному ящику», снимают ряд характеристик и их обрабатывают. Задание курсовой работы предполагает применение первого метода. Алгоритм метода внешне весьма прост.
1. Разделение процесса на элементы (звенья).
2. Анализ величин, описывающих процесс и его части.
3. Выбор выходной величины как объекта регулирования. Выбор входных величин (управляющих, возмущающих).
4. Принятие допущений.
5. Составление уравнения (-ний) статики в установившемся режиме относительно значения параметра вещества, изменяющегося в процессе.
6. Составление уравнения (-ний) динамики в отклонениях от установившегося режима. Если не получается, - возврат к п.4 для принятия дополнительных допущений.
7. Составление математической модели.
8. Запись уравнения (-ний) динамики в операторной форме. Определение вида передаточных функций по каналам управления и возмущения.
9. Определение числовых значений коэффициентов передаточных функций.
10. Построение структурной схемы математической модели.
11. Исследование системы управления по математической модели.
В процессе исполнения первого этапа алгоритма происходит изучение конструкции объекта и процессов, в нем протекающих. При построении аналитической модели наиглавнейшим условием является понимание с чем, что и как происходит в процессе технологической операции или их последовательности. Многие операции выполняются над всем объемом исходного продукта. Это полностью относится к химическому взаимодействию в реакторах. Но часто собственно технологическому переделу при физических взаимодействиях (количественному или качественному изменению) подвергается не исходный продукт в целом, а только одна из его составляющих. Например, в процессах фильтрации и сушки изменяются массы только жидкой фазы, а массы твердой фазы остаются практически неизменными.
Любая технологическая операция производится в конкретном аппарате, на конкретном оборудовании, часто не позволяющем выполнить необходимый объем технологического передела. Поэтому применяется «каскадное» использование однотипного оборудования. Именно такие решения приняты в сушильной части бумагоделательных машин и в системах очистки дымовых газов от вредных примесей. При составлении математической модели допускается дифференциальное рассмотрение каждого каскада, если «нагрузка» каждого каскада различна, и интегральное рассмотрение всех каскадов вместе, если они «нагружены» равномерно.
Важным дополнением является учет возможного деления операции на этапы, проходящие в различных частях аппарата, то есть в различных условиях по конструктивному решению. Например, во многих типах паровых и водогрейных котлов различают зону лучистого теплообмена между факелами горелок топочной камеры и водой, протекающей по экранным вертикально расположенным трубам, и зону конвективного теплообмена между топочными газами и водой, протекающей по трубам, расположенным горизонтально. Именно способ осуществления технологического передела позволяет составить перечень переменных величин (измеряемых и не измеряемых), которые могут войти элементами в математическую модель (этап 2). А связи между ними устанавливаются либо известными из теории формулами, либо дополняются результатами эксперимента (этап 3). На этом же этапе определяется состав входных и выходных величин. Осознание того, что подвергается переделу, приводит к пониманию способов осуществления этого передела. А именно: какие физико-химические процессы (а они описываются известными соотношениями между участвующими в них переменными величинами) должны являться содержанием технологической операции.
При составлении математической модели исследователь принимает решение о составе переменных для модели и степени важности тех или иных соотношений между ними. Это называется принятием допущений (этап 4). Основные допущения касаются пренебрежения либо незначимыми с точки зрения исследователя переменными, либо степени несоответствия условий протекания процесса теоретическим построениям. К принятию допущений относится и упрощение вида зависимостей между переменными - элементами модели. При этом уменьшается и число звеньев структурной схемы системы управления.
Для составления математической модели (этапы 5, 6) применяется один из двух (или оба) самых общих и всегда справедливых физических законов. Речь идёт о законе сохранения вещества (материи) и законе сохранения энергии, которая не исчезает, а переходит из одного вида в другой.
Для моделирования обычно составляются уравнения массового и/или энергетического баланса. Причем уравнения динамики составляются для приращений функций или, что то же самое, для отклонений от установившегося режима. Таким образом, математическая модель (этап 7) представляет собою совокупность текстовых и математических записей относительно всех наших знаний о процессе и аппарате, в котором этот процесс протекает, о сделанных допущениях и характере изменения управляемой величины. И не имеет никакого значения в какой форме выполнены эти математические записи: дифференциального или интегрального уравнения, алгебраического уравнения или неравенства; ограничение или постоянство какой – либо величины.
Если решить полученные уравнения относительно главной переменной величины при описанных условиях (обычно её значение и подлежит регулированию), то получим функцию изменения этой величины во времени и пространстве при фиксированных начальных или граничных условиях. Такую функцию можно исследовать математическими методами при различных видах возмущающих и управляющих воздействий и различных значениях параметров этих функций (этап 11). И это будет самая конечная фаза по составлению математической модели. Однако нас интересуют и составление структурной схемы системы управления значениями регулируемых величин. Для этого уравнение динамики записывается в операторной форме (после применения преобразования Лапласа), что позволяет составить передаточные функции по каждому каналу (этап 8). А определенные числовые значения коэффициентов передаточных функций с использованием значений параметров регламентного режима позволяют построить структурную схему математической модели (этап 10).