Переход к системе разрешающих разностных уравнений
ЛЕКЦИЯ 6
Элементы программирования в среде MATLAB
1.12. Краевая задача.
Метод конечных разностей. Аппроксимация производных.
Метод конечных разностей (МКР) – это наиболее простой и при этом достаточно эффективный способ численного решения задач, представленных дифференциальными уравнениями. Его суть представим ниже.
Рис. 6.1. Схема аппроксимации по методу конечных разностей.
Разобьем отрезок 
на 
отрезков (рис. 6.1.).
Введем следующие обозначения:
– координаты точек разбиения (узлов);
– номер точки разбиения ( 
);
длина -го отрезка (шаг разбиения): 
; (6.1)
«средний» шаг: 
; (6.2)
, при этом 
, 
; (6.3)
; 
; 
. (6.4)
Производные в -ой точке заменим разностными соотношениями:
правая разность: 
(6.5)
левая разность: 
(6.6)
центральная разность: 
(6.7)
При 
, в соответствии с определением производной, все три величины (6.5) –(6.7) будут стремиться к 
. Использование той или другой из них зависит от конкретной ситуации.
Вторая производная в -ой точке может быть приближенно представлена разностным отношением первых производных, которые в свою очередь, приближены разностным аналогом например,
. (6.8)
В частности, при 
формула (6.8) упрощается:
. (6.9)
Это наиболее употребляемая формула второй разности.
Разностные аналоги производных более высоких порядков строятся как суперпозиции разностей первого и второго порядков.
Точность аппроксимации значений производных разностями зависит от величины шага разбиения.
Порядок аппроксимации производных.
Для упрощения оценок предположим, что 
. По формуле Тейлора получим:
,
где 
. (6.10)
Тогда для правой разности получим
т.е. 
(6.11)
таким образом, имеем аппроксимацию первого порядка.
Аналогично для левой разности
,
следовательно, также получаем результат (6.11) и первый порядок аппроксимации.
Рассмотрим центральную разность.
т.е. 
(6.12)
следовательно, в случае центральной разности получаем аппроксимацию второго порядка. Таким образом, центральная разность является, как правило, более точной аппроксимацией первой производной.
Определим порядок аппроксимации для второй производной.
т.е. 
(6.13)
следовательно, имеем аппроксимацию второго порядка.
Подобным образом можно установить порядок аппроксимации для любой разностной формулы.
Переход к системе разрешающих разностных уравнений.
Переход к системе разностных уравнений осуществляется путем замены в каждой точке сеточной области (узле) дифференциального уравнения его разностным аналогом. Таким образом, получаем систему уравнений относительно неизвестных значений искомой функции в сеточных узлах. Следовательно, исходный дифференциальный оператор заменяется матричным.
В качестве примера рассмотрим одномерную краевую задачу для дифференциального оператора второго порядка.
Краевая задача на отрезке 
для дифференциального уравнения второго порядка в общем случае представима в виде
(6.17)
Здесь все величины, кроме 
, предполагаются заданными.
Пользуясь приведенными обозначениями и формулами, можно представить задачу (6.17) в каждой -ой точке относительно величин 
следующим образом:
(6.18)
СЛАУ (6.18) является разностным аналогом краевой задачи (6.17). Здесь 
неизвестных 
и уравнений. Приводя подобные члены, получим:
(6.19)
или в матричном виде:
, (6.20)
где
; 
; 
,
при этом элементы матрицы и вектора правой части определяются формулами
, 
; 
, 
,
, 
; 
, 
;
; 
, ; 
.
После решения системы (6.19) (или (6.20)) получим приближенное решение задачи (6.17) в -х точках.